Os números x+1, 3x - 4 e 7x - 14 formam, nessa ordem, uma progressão geométrica crescente. Assinale as alternativas corretas. A Existem dois possíveis valores para x. B O valor de x é 2,5. C O valor de x é 6. D A razão da PG é 2. E A soma dos três termos dessa PG é um quadrado perfeito.
Respostas
Primeiramente, precisamos determinar a razão da progressão geométrica. A razão de uma PG pode ser calculada dividindo um termo pelo termo anterior, e esse valor deve ser igual para toda série. Assim:
Ax/Ax-1 = Ax+1/Ax
Substituindo os dados, temos:
(3x-4)/(x+1) = (7x-14)/(3x-4)
(3x-4)² = (x+1)*(7x-14)
9x² - 24x + 16 = 7x² - 7x - 14
2x² - 17x + 30 = 0
Com essa equação, encontramos dois valores para X:
x = 6 e x = 2,5
Porém, o problema diz que a PG é crescente. Logo, a razão tem que ser maior que 1. Substituindo x = 2,5 nos três valores, temos:
x+1; 3x-4; 7x-14
2,5+1; 3*2,5-4; 7*2,5-14
3,5; 3,5; 3,5
Dessa forma, a razão é igual a 1. Ou seja, o valor de x = 2,5 deve ser descartado.
Utilizando x = 6, temos:
x+1; 3x-4; 7x-14
6+1; 3*6-4; 7*6-14
7; 14; 28
Dessa forma, encontramos uma PG crescente de razão igual a 2.
Agora, podemos analisar as alternativas:
a) Incorreta. Apesar de encontrar dois valores para "x", apenas um pode ser utilizado.
b) Incorreta. O valor de x é igual a 6.
c) Correta. A razão da PG é igual 2, pois temos:
14/7 = 28/14 = 2
d) Correta. A soma dos três termos é:
7+14+28 = 49
49 é um quadrado perfeito de raiz 7.
Logo, as alternativas corretas são: C e D.