Respostas
Primeiro devemos transformar em uma potência...
1/(x^2+1) = (x^2+1)^-1
Agora podemos usar a regra da cadeia, considerando como uma função dentro de uma função...
Podemos chamar x^2+1 de u, então...
y = u^-1
Segundo a regra da cadeia...
dy/dx = dy/du*du/dx
Podemos interpretar isso da seguinte maneira... a derivada de y em relação a x é igual à derivada de y em relação a u multiplicada pela derivada de u em relação a x.
Segunda a regra da potência, se f(x) = ax^n, então f'(x) = nax^n-1.
Aplicaremos essa regra nos dois casos.
Derivada de y em relação a u pela regra da potência...
y = u^-1
dy/du = y' = -u^-2
Derivada de u em relação a x, também pela regra da potência...
u = x^2+1
du/dx = u' = 2x
Pela regra da cadeia...
dy/dx = -u^-2 * 2x
Como u = x^2+1...
dy/dx = -(x^2+1)^-2 * 2x
Removendo o expoente negativo...
dy/dx = [-1/(x^2+1)^2] * 2x = -2x/(x^2+1)^2