• Matéria: Matemática
  • Autor: diegoamorim167
  • Perguntado 5 anos atrás

Matemática para Engenharia

Anexos:

Respostas

respondido por: Stichii
1

Temos as seguintes funções:

 \sf y = x {}^{2}  \:  \:  \: e \:  \:  \: y = 3x

A questão quer saber qual a área formada entre essas duas funções, para encontrar tal valor temos que seguir alguns passos.

  • 1) Limites de integração:

Os limites de integração são justamente os pontos de onde a área se estende, para encontrar esses pontos basta igualar as duas funções e encontrar os seus pontos de Intersecção que correspondem aos limites.

 \sf 3x = x {}^{2} \Longrightarrow x {}^{2}  - 3x = 0\Longrightarrow x(x - 3) = 0 \\   \sf  \begin{cases} \sf x_1 = 0 \\  \sf x_1  = 3 \end{cases}

Portanto esses são os limites de integração.

  • 2) Montagem da equação que corresponde a área formada.

Para encontrar essa função você deve conhecer o gráfico, então por esse motivo use o Geogebra, após isso veja qual função está acima e qual função está abaixo, tendo feito isso você subtrai a função de cima pela função de baixo:

 \sf 3x - x {}^{2}

  • 3) Montagem da integral definida.

A integração não é nada mais nada menos que a junção da função e os limites:

 \sf \int\limits_{0}^{3}(3x - x {}^{2} )dx \\

  • 4) Integração da função.

Para fazer esse passo você pode esquecer os limites momentaneamente, mas no final eles devem ser realocados.

 \sf  \int 3x - x {}^{2}  =    \boxed{ \sf\frac{3x {}^{2} }{2}  -  \frac{x {}^{3} }{3}  + k} \\

Por mais que ali tem a constante, não vamos usá-la, já que se trata de uma integral definida ela sumiria no final do cálculo. Agora vamos realocar os limites na forma de barra:

 \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \boxed{ \sf  \frac{3x {}^{2} }{2}  -  \frac{x {}^{3} }{3}  \bigg| _{0}^{3}}

  • 5) Aplicação do Teorema Fundamental do Cálculo.

Esse teorema tem por expressão:

  \sf \int\limits_{a}^{b}f(x)dx = F(b) - F(a)\Longrightarrow \bigg| _{a}^{b} \\

Aplicando o teorema citado acima:

 \sf  \frac{3.(3) {}^{2} }{2}  -  \frac{(3) {}^{3} }{3}  -  \left( \frac{3.0 {}^{2} }{2} -  \frac{0 {}^{3} }{3}   \right) \\  \\  \sf  \frac{27}{2}  -  \frac{27}{3}  - 0  +  0 \\  \\  \sf  \frac{81 - 54}{6}  \\  \\  \sf  \frac{27}{6} \Longrightarrow  \boxed{ \boxed{ \boxed{ \boxed{  \sf \sf\frac{9}{2}  \: u.a}}}}

Espero ter ajudado

Anexos:
respondido por: antoniosbarroso2011
1

O interesse da questão está no 1 quadrante, logo, o intervalo a ser trabalhado está contido no intervalo I = [0, +\infty[. Assim, vamos atribuir valores de x E I. Então

Em y = x^{2}, vem

x = 0 => 0^{2} = 0

x = 1 => 1^{2} = 1

x = 2 => 2^{2} = 4

x = 3 => 3^{2} = 9

Em y = 3x, vem

x = 0 => 3.0 = 0

x = 1 => 3.1 = 3

x = 2 => 3.2 = 6

x = 3 => 3 3 = 9

De acordo com os esboços dos gráficos dessas funções no mesmo sistema cartesiano, conforme imagem em anexo, teremos:

\int_{0}^{3}(3x-x^{2}=(\frac{3x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3})]_{0}^{3}=(\frac{3.3^{2}}{2}-\frac{3^{3}}{3})-(\frac{3.0^{2}}{2}-\frac{0^{3}}{3}=\frac{27}{2}-\frac{27}{3}=\frac{3.27 - 2.27}{6}=\frac{27}{6}=\frac{9}{2} u.a

Terceira opção

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