Question

Matemática para Engenharia

Answer 1

Temos as seguintes funções:

$\sf y = x {}^{2} \: \: \: e \: \: \: y = 3x$

A questão quer saber qual a área formada entre essas duas funções, para encontrar tal valor temos que seguir alguns passos.

• 1) Limites de integração:

Os limites de integração são justamente os pontos de onde a área se estende, para encontrar esses pontos basta igualar as duas funções e encontrar os seus pontos de Intersecção que correspondem aos limites.

$\sf 3x = x {}^{2} \Longrightarrow x {}^{2} - 3x = 0\Longrightarrow x(x - 3) = 0 \\ \sf \begin{cases} \sf x_1 = 0 \\ \sf x_1 = 3 \end{cases}$

Portanto esses são os limites de integração.

• 2) Montagem da equação que corresponde a área formada.

Para encontrar essa função você deve conhecer o gráfico, então por esse motivo use o Geogebra, após isso veja qual função está acima e qual função está abaixo, tendo feito isso você subtrai a função de cima pela função de baixo:

$\sf 3x - x {}^{2}$

• 3) Montagem da integral definida.

A integração não é nada mais nada menos que a junção da função e os limites:

$\sf \int\limits_{0}^{3}(3x - x {}^{2} )dx$

• 4) Integração da função.

Para fazer esse passo você pode esquecer os limites momentaneamente, mas no final eles devem ser realocados.

$\sf \int 3x - x {}^{2} = \boxed{ \sf\frac{3x {}^{2} }{2} - \frac{x {}^{3} }{3} + k}$

Por mais que ali tem a constante, não vamos usá-la, já que se trata de uma integral definida ela sumiria no final do cálculo. Agora vamos realocar os limites na forma de barra:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{ \sf \frac{3x {}^{2} }{2} - \frac{x {}^{3} }{3} \bigg| _{0}^{3}}$

• 5) Aplicação do Teorema Fundamental do Cálculo.

Esse teorema tem por expressão:

$\sf \int\limits_{a}^{b}f(x)dx = F(b) - F(a)\Longrightarrow \bigg| _{a}^{b}$

Aplicando o teorema citado acima:

$\sf \frac{3.(3) {}^{2} }{2} - \frac{(3) {}^{3} }{3} - \left( \frac{3.0 {}^{2} }{2} - \frac{0 {}^{3} }{3} \right) \\ \\ \sf \frac{27}{2} - \frac{27}{3} - 0 + 0 \\ \\ \sf \frac{81 - 54}{6} \\ \\ \sf \frac{27}{6} \Longrightarrow \boxed{ \boxed{ \boxed{ \boxed{ \sf \sf\frac{9}{2} \: u.a}}}}$

Espero ter ajudado

Answer 2

O interesse da questão está no 1 quadrante, logo, o intervalo a ser trabalhado está contido no intervalo I = [0, $+\infty$[. Assim, vamos atribuir valores de x E I. Então

Em y = $x^{2}$, vem

x = 0 => $0^{2}$ = 0

x = 1 => $1^{2}$ = 1

x = 2 => $2^{2}$ = 4

x = 3 => $3^{2}$ = 9

Em y = 3x, vem

x = 0 => 3.0 = 0

x = 1 => 3.1 = 3

x = 2 => 3.2 = 6

x = 3 => 3 3 = 9

De acordo com os esboços dos gráficos dessas funções no mesmo sistema cartesiano, conforme imagem em anexo, teremos:

$\int_{0}^{3}(3x-x^{2}=(\frac{3x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3})]_{0}^{3}=(\frac{3.3^{2}}{2}-\frac{3^{3}}{3})-(\frac{3.0^{2}}{2}-\frac{0^{3}}{3}=\frac{27}{2}-\frac{27}{3}=\frac{3.27 - 2.27}{6}=\frac{27}{6}=\frac{9}{2}$ u.a

Terceira opção