Question

Prove que F(n + 2)2 = F(n + 3) · F(n) + F(n + 1)2 para todo inteiro n ≥ 1.​

Answer 1

$\bf\large\green{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad}}$

$\green{\rm\underline{EXPLICAC_{\!\!\!,}\tilde{A}O\ PASSO{-}A{-}PASSO\ \ \ }}$✍

❄☃ $\sf(\gray{+}\ \red{cores}\ \blue{com}\ \pink{o}\ \orange{App}\ \green{Brainly})$ ☘☀

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☺lá novamente, Hazz, como tens passado estes últimos tempos⁉ E os estudos à distância, como vão⁉ Espero que bem❗  Vamos a mais um exercício.

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☔ Apesar de parecer complicado o enunciado é de fácil demonstração. Vamos iniciar com a nossa equação básica para encontrarmos o n-ésimo termo da sequência de fibonacci, que já parte da premissa de n≥1

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$\rm\large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl} & & \\ & \orange{ F_{n + 2} = F_{n + 1} + F_{n}} & \\ & & \\ \end{array}}}}}$

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☔ Com esta informação sabemos que

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$\large\gray{\boxed{\rm\blue{ F_{n + 2}^2 = (F_{n + 1} + F_{n})^2 = F_{n + 1}^2 + 2 \cdot F_{n + 1} \cdot F_{n} + F_{n}^2}}}$

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☔ Vamos observar mais de perto a expressão $2 \cdot F_{n + 1} \cdot F_{n} + F_{n}^2$. Chamemos ela de Shrek.

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➡ $\sf \large \blue{  Shrek\ =\ F_{n} \cdot (2 \cdot F_{n + 1} + F_{n}) }$

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➡ $\sf \large \blue{  Shrek\ =\ F_{n} \cdot (F_{n + 1} + F_{n + 1} + F_{n}) }$

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➡ $\sf \large \blue{  Shrek\ =\ F_{n} \cdot (F_{n + 1} + \overbrace{(F_{n + 1} + F_{n})}^{F_{n + 2}}) }$

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➡ $\sf \large \blue{  Shrek\ =\ F_{n} \cdot (F_{n + 1} + F_{n + 2}) }$

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➡ $\sf \large \blue{  Shrek\ =\ F_{n} \cdot \overbrace{(F_{n + 2} + F_{n + 1})}^{F_{n + 3}} }$

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➡ $\sf \large \blue{  Shrek\ =\ F_{n} \cdot F_{n + 3} }$

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☔ Ou seja, podemos reescrever Shrek na nossa equação do quadrado do n-ésimo termo de Fibonacci como

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$\large\gray{\boxed{\rm\blue{ F_{n + 2}^2 }\ \pink{ = }\ \blue{ F_{n + 1}^2 + F_{n} \cdot F_{n + 3} }}}$

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$\rm\large\green{\boxed{ \ \ \ \orange{ F_{n + 2}^2 }\ \pink{ = }\ \blue{ F_{n} \cdot F_{n + 3} + F_{n + 1}^2 }\ \ \ \ }}$ ✅

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Como desejávamos demonstrar. ✌

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$\bf\large\red{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad}}$☁

☕ $\bf\large\blue{Bons\ estudos.}$

($\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios}$) ☄

$\bf\large\red{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad }}\LaTeX$✍

❄☃ $\sf(\gray{+}\ \red{cores}\ \blue{com}\ \pink{o}\ \orange{App}\ \green{Brainly})$ ☘☀

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$\large\textit{"Absque\ sudore\ et\ labore}$

$\large\textit{nullum\ opus\ perfectum\ est."}$