Question

6) Resolva o sistema abaixo por escalonamento, e indique o trio que é solução do mesmo:[Obs.: (x, y, z)]

a) (2,3,4)
b)(0,2,3)
c) (1,2,3)
d) (-1,2,3)
e) (-2,3,4)

Answer 1

Temos o seguinte sistema:

$\begin{cases} \sf x + 2y - z = 2 \\ \sf 2x - y + z = 3 \\ \sf x + y + z = 6 \end{cases}$

Vamos resolver pelo método do escalonamento, só que de uma maneira "diferenciada". Primeiro vamos escrever o nome de cada linha.

$\begin{cases} \sf x + 2y - z = 2 \to L_1 \\ \sf 2x - y + z = 3 \to L_2\\ \sf x + y + z = 6 \to L_3 \end{cases}$

Agora vamos começar as manipulações nesse sistema de forma a deixar a última linha com apenas uma incógnita. Digamos que a linha 3 receberá a linha 3 mais a linha 1, então:

$\sf L_3 \leftarrow L_3 + L_1 \\ \sf L_3 \leftarrow 2x + 3y = 8$

Substituindo essa nova linha:

$\begin{cases} \sf x + 2y - z = 2 \to L_1 \\ \sf 2x - y + z = 3 \to L_2\\ \sf 2x + 3y = 8 \to L_3 \end{cases}$

Agora a linha 2 receberá a linha 2 mais a linha 1:

$\sf L_2 \leftarrow L_2 + L_1 \\ \sf L_2 \leftarrow 3x + y = 5$

Substituindo essa nova linha:

$\begin{cases} \sf x + 2y - z = 2 \to L_1 \\ \sf 3x + y= 5 \to L_2\\ \sf 2x + 3y = 8 \to L_3 \end{cases}$

Mais uma vez fazendo manipulação, temos a linha 3 recebendo a linha 3 mais a linha 2 multiplicada por (-3).

$\sf L_3 \leftarrow L_3 + ( - 3.L_2) \\ \sf L_3 \leftarrow L_3 - 3L_2 \\ \sf L_3 \leftarrow - 7x = - 7$

Substituindo essa nova linha:

$\begin{cases} \sf x + 2y - z = 2 \to L_1 \\ \sf 3x + y= 5 \to L_2\\ \sf - 7x = - 7 \to L_3 \end{cases}$

Pronto escalonamos, agora é só resolver.

$\sf - 7x = - 7 \Longrightarrow x = 1 \\ \sf 3x + y = 5\Longrightarrow y = 2 \\ \sf x + 2y - z = 2\Longrightarrow z = 3$

Espero ter ajudado