Question

Quantos números 9 há entre 0 e 10.000?

Answer 1

Vou chamar $f_i(9)$ o número de vezes que aparece o algarismo 9 entre 0 e $10^i-1$, que é a mesma coisa que entre 0 e $10^i$, já que este não tem nenhum 9. Dito isso, vamos dividir por partes:

i) Entre 0 e 9:
Só aparece o 9 uma vez, portanto $f_1(9)=1$

ii) Entre 0 e 99:
O 9 aparece como algarismo das unidades 10 vezes (9, 19, 29, 39, ..., 99) e como da dezena 10 vezes (90, 91, 92, 93, ..., 99), daí $f_2(9)=20$

iii) Entre 0 e 999:
Aqui se complica um pouco; já calculamos entre 0 e 99, que dá 20. Entre 100 e 199 também aparecem 20 vezes o 9. Entre 200 e 299 também aparece 20 vezes o algarismo 9, já que não aparece nenhum 9 na centena. Isso se repete até 899 e a partir daí temos que contar com os 9 das centenas (900, 901, 902, etc.). Entre 900 e 999 aparecem 120 9's: 100 vezes na centena e 20 vezes nas dezenas e unidades.
Somando tudo tu encontra que $f_3(9)=300$

iv) Entre 0 e 9999:
Farei diferente, sem escrever muito, usando o mesmo raciocínio do passo anterior:

Entre 0000 e 0999 => 300
Entre 1000 e 1999 => 300
Entre 2000 e 2999 => 300
...
Entre 9000 e 9999 => 300 + 1000

Somando tudo tu encontra que $f_4(9)=4000$, portanto o algarismo 9 aparece 4000 vezes entre 0 e 10000

R: 4000