Question

Cós 2x + cós 6x = 0 [0,pi/2]

Answer 1

Fórmula para transformar soma em produto:

$\cos \alpha+\cos \beta=2\cdot \cos\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2} \right )\cdot \cos \left(\dfrac{\alpha-\beta}{2} \right )$


Para esta equação

$\cos 2x+\cos 6x=0$

podemos utilizar a fórmula acima, fazendo

$\alpha=2x,\;\;\beta=6x$


Então, temos que

$\cos 2x+\cos 6x=2\cdot \cos\left(\dfrac{2x+6x}{2} \right )\cdot \cos \left(\dfrac{2x-6x}{2} \right )\\ \\ \\ \cos 2x+\cos 6x=2\cdot \cos\left(\dfrac{8x}{2} \right )\cdot \cos \left(\dfrac{-4x}{2} \right )\\ \\ \\ \cos 2x+\cos 6x=2\cdot \cos\left(4x \right )\cdot \cos \left(-2x \right )$


Como o cosseno é uma função ímpar, temos que

$\cos \left(-2x \right )=\cos 2x$


Sendo assim,

$\cos 2x+\cos 6x=2\cdot \cos 4x\cdot \cos 2x$


Substituindo na equação, temos

$2\cdot \cos 4x\cdot \cos 2x=0\\ \\ \cos 4x\cdot \cos 2x=0\\ \\ \cos 4x=0\;\;\text{ ou }\;\;\cos 2x=0$


Resolvendo separadamente cada uma das equações acima:

$\bullet\;\;\cos 4x=0\\ \\ 4x=\pm \dfrac{\pi}{2}+k\cdot 2\pi\\ \\ \\ x=\dfrac{1}{4}\cdot \left(\pm \dfrac{\pi}{2}+k\cdot 2\pi \right)\\ \\ \\ x=\pm \dfrac{\pi}{8}+k\cdot \dfrac{\pi}{2}\\ \\ \\ x=\dfrac{\pi}{8}+k\cdot \dfrac{\pi}{2}\;\;\text{ ou }\;\;x=-\dfrac{\pi}{8}+k\cdot \dfrac{\pi}{2}$

onde $k$ é um número inteiro.


Como queremos soluções dentro do intervalo $\left[0;\,\dfrac{\pi}{2} \right ],$ atribuimos valores inteiros para $k,$ e temos

$k=0\;\;\Rightarrow\;\;x=\dfrac{\pi}{8}\;\;\text{ ou }\;\;x=-\dfrac{\pi}{8}\text{ (n\~{a}o serve)}\\ \\ \\ k=1\;\;\Rightarrow\;\;x=\dfrac{5\pi}{8}\text{ (n\~{a}o serve)}\;\;\text{ ou }\;\;x=\dfrac{3\pi}{8}$

A solução para a primeira equação é

$S_{1}=\left\{\dfrac{\pi}{8},\,\dfrac{3\pi}{8} \right \}$


$\bullet\;\;\cos 2x=0\\ \\ 2x=\pm \dfrac{\pi}{2}+k\cdot 2\pi\\ \\ \\ x=\dfrac{1}{2}\cdot\left(\pm \dfrac{\pi}{2}+k\cdot 2\pi \right )\\ \\ \\ x=\pm \dfrac{\pi}{4}+k\cdot \pi\\ \\ \\ x=\dfrac{\pi}{4}+k\cdot \pi\;\;\text{ ou }\;\;x=-\dfrac{\pi}{4}+k\cdot \pi$

onde $k$ é um número inteiro.


Novamente, atribuindo valores inteiros para $k,$ para obtermos as soluções no intervalo desejado, temos

$k=0\;\;\Rightarrow\;\;x=\dfrac{\pi}{4}\;\;\text{ ou }\;\;x=-\dfrac{\pi}{4}\text{ (n\~{a}o serve)}$


A solução para a segunda equação é

$S_{2}=\left\{\dfrac{\pi}{4} \right \}$


Portanto, a solução para a equação inicial é a união entre as duas soluções encontradas acima:

$S=S_{1}\cup S_{2}\\ \\ S=\left\{\dfrac{\pi}{8},\,\dfrac{3\pi}{8} \right \}\cup \left\{\dfrac{\pi}{4} \right \}\\ \\ \\ S=\left\{\dfrac{\pi}{8},\,\dfrac{\pi}{4},\,\dfrac{3\pi}{8} \right \}$