Question

Calcule a inversa, se tiver:

Answer 1

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$\rm\large\green{\boxed{\blue{\left[\begin{array}{cccr}&&&\\3&-3&-3&2\\&&&\\-5&6&6&-4\\&&&\\4&-5&-4&3\\&&&\\1&-1&-1&1\\&&&\\\end{array}\right]}}}$

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$\bf\large\green{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad}}$

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❄☃ $\sf(\gray{+}~\red{cores}~\blue{com}~\pink{o}~\orange{App}~\green{Brainly})$ ☘☀

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☺lá novamente, Thiaguinho. Vamos a mais um exercício com matrizes❗  

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☔ Acompanhe a resolução abaixo e após a resposta você encontrará um resumo sobre matrizes inversas e um link com um resumo sobre cálculo de determinantes que espero que te ajudem com exercícios semelhantes no futuro.✌  

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$\bf\large\red{\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad}}$✍  

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➡ i=j e Det(A) ≠  0

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$\blue{\left[\begin{array}{cccr|lccc}2&1&0&0&1&0&0&0\\&&&&&&&\\1&0&-1&1&0&1&0&0\\&&&&&&&\\0&1&1&1&0&0&1&0\\&&&&&&&\\-1&0&0&3&0&0&0&1\\\end{array}\right]}$  

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➡ $(Trocar~L_2~com~L_1)$

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$\blue{\left[\begin{array}{cccr|lccc}1&0&-1&1&0&1&0&0\\&&&&&&&\\2&1&0&0&1&0&0&0\\&&&&&&&\\0&1&1&1&0&0&1&0\\&&&&&&&\\-1&0&0&3&0&0&0&1\\\end{array}\right]}$  

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➡ $(L_2 = L_2 - 2 \cdot L_1)~e~(L_4 = L_4 + L_1)$  

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$\blue{\left[\begin{array}{cccr|lccc}1&0&-1&1&0&1&0&0\\&&&&&&&\\0&1&2&-2&1&-2&0&0\\&&&&&&&\\0&1&1&1&0&0&1&0\\&&&&&&&\\0&0&-1&4&0&1&0&1\\\end{array}\right]}$  

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➡ $(L_3 = L_3 - L_2)$  

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$\blue{\left[\begin{array}{cccr|lccc}1&0&-1&1&0&1&0&0\\&&&&&&&\\0&1&2&-2&1&-2&0&0\\&&&&&&&\\0&0&-1&3&-1&2&1&0\\&&&&&&&\\0&0&-1&4&0&1&0&1\\\end{array}\right]}$  

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➡ $(L_4 = L_4 - L_3)$  

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$\blue{\left[\begin{array}{cccr|lccc}1&0&-1&1&0&1&0&0\\&&&&&&&\\0&1&2&-2&1&-2&0&0\\&&&&&&&\\0&0&-1&3&-1&2&1&0\\&&&&&&&\\0&0&0&1&1&-1&-1&1\\\end{array}\right]}$  

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➡ $(L_3 = L_3 - 3 \cdot L_4),~(L_2 = L_2 + 2 \cdot L_4)~e~(L_1 = L_1 - L_4)$  

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$\blue{\left[\begin{array}{cccr|lccc}1&0&-1&0&-1&2&1&-1\\&&&&&&&\\0&1&2&0&3&-4&-2&2\\&&&&&&&\\0&0&-1&0&-4&5&4&-3\\&&&&&&&\\0&0&0&1&1&-1&-1&1\\\end{array}\right]}$  

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➡ $(L_3 = L_3 \cdot (-1))$  

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$\blue{\left[\begin{array}{cccr|lccc}1&0&-1&0&-1&2&1&-1\\&&&&&&&\\0&1&2&0&3&-4&-2&2\\&&&&&&&\\0&0&1&0&4&-5&-4&3\\&&&&&&&\\0&0&0&1&1&-1&-1&1\\\end{array}\right]}$  

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➡ $(L_2 = L_2 - 2 \cdot L_3)~e~(L_1 = L_1 + L_3)$  

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$\blue{\left[\begin{array}{cccr|lccc}1&0&0&0&3&-3&-3&2\\&&&&&&&\\0&1&0&0&-5&6&6&-4\\&&&&&&&\\0&0&1&0&4&-5&-4&3\\&&&&&&&\\0&0&0&1&1&-1&-1&1\\\end{array}\right]}$  

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$\rm\large\green{\boxed{\blue{\left[\begin{array}{cccr}&&&\\3&-3&-3&2\\&&&\\-5&6&6&-4\\&&&\\4&-5&-4&3\\&&&\\1&-1&-1&1\\&&&\\\end{array}\right]}}}$

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✋ Experimente multiplicar A por $A^{-1}$ para conferir que de fato resultará em $I_4$. ✋  

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MATRIZ INVERSA  

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☔ A matriz inversa $A_{m, m}^{-1}$ é a matriz que  

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$\rm\large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{A_{m, m} \cdot A_{m, m}^{-1} = A_{m, m}^{-1} \cdot A_{m, m} = I_{m,m}}&\\&&\\\end{array}}}}}$  

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sendo I a matriz identidade de tamanho igual ao de A e $A^{-1}$.  

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☔ Uma matriz somente será inversível se  

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➡ for uma matriz quadrada (ou seja, $A_{ij}$ onde i = j)  

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➡ sua Determinante for diferente de zero  

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☔ Existem algumas formas de descobrir a a matriz inversa. A mais simples é também é a mais braçal, ou seja, a que resulta em mais contas a serem feitas que é através de sistemas, isolando as variáveis e substituindo umas nas outras. Uma outra forma, mais elaborada porém mais rápida, se chama ESCALONAMENTO (se assemelha um pouco ao Método da Eliminação de Gauss para resolução de sistemas). Por esta estratégia nós  

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I) Escrevemos nossa matriz original e colada ao seu lado direito escrevemos também a matriz identidade;  

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II) Através de uma série de operações algébricas entre as linhas nós faremos com que o lado esquerdo seja transformado na matriz identidade e, neste processo, a matriz identidade que estava do lado direito será transformada na matriz inversa. Parece bruxaria mas não é. A demonstração do porquê este método funciona não é tão longa porém ficará para um outro dia, para um outro momento.  

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✈ Determinante de uma matriz (https://brainly.com.br/tarefa/36511536)  

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$\bf\large\red{\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$☁  

☕ $\bf\large\blue{Bons\ estudos.}$  

($\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios}$) ☄  

$\bf\large\red{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad }}\LaTeX$✍  

❄☃ $\sf(\gray{+}~\red{cores}~\blue{com}~\pink{o}~\orange{App}~\green{Brainly})$ ☘☀  

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$\large\textit{"Absque~sudore~et~labore}$

$\large\textit{nullum~opus~perfectum~est."}$

Answer 2

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades.

Seja a matriz quadrada de ordem $4$:

$E=\begin{bmatrix}2&1&0&0\\1&0&-1&1\\0&1&1&1\\-1&0&0&3\\\end{bmatrix}$

Devemos encontrar, se existir, sua inversa. Primeiro, devemos determinar se ela é invertível: seu determinante deve ser diferente de zero.

Utilizando o Teorema de Laplace, escolhida a última linha, teremos:

$\det E=(-1)\cdot(-1)^{4+1}\cdot\begin{vmatrix}1&0&0\\0&-1&1\\1&1&1\\\end{vmatrix}+3\cdot(-1)^{4+4}\cdot\begin{vmatrix}2&1&0\\1&0&-1\\0&1&1\\\end{vmatrix}\\\\\\ \det E = -2+3\\\\\\ \det E=1$

Assim, conclui-se que a matriz é invertível.

Utilizaremos o método da matriz adjunta:

$E^{-1}=\dfrac{1}{\det E}\cdot \mathbf{adj}~E}$, em que a matriz adjunta é a matriz transposta dos cofatores da matriz original: $\bold{adj}~E = \begin{bmatrix}C_{ij}\\\end{bmatrix}^T$.

Lembre-se que os cofatores são calculados pela fórmula: $C_{ij}=(-1)^{i+j}\cdot\det D_{ij}$, em que $D_{ij}$ é a matriz formada pelos elementos que restam ao eliminarmos a linha $i$ e a coluna $j$ do elemento que calculamos o cofator.

Calculamos cada um dos cofatores:

$C_{11}=(-1)^{1+1}\cdot\begin{vmatrix}0&-1&1\\1&1&1\\0&0&3\\\end{vmatrix}=3\\\\\\ C_{12}=(-1)^{1+2}\cdot\begin{vmatrix}1&-1&1\\0&1&1\\-1&0&3\\\end{vmatrix}=-5\\\\\\ C_{13}=(-1)^{1+3}\cdot\begin{vmatrix}1&0&1\\0&1&1\\-1&0&3\\\end{vmatrix}=4\\\\\\\ C_{14}=(-1)^{1+4}\cdot\begin{vmatrix}1&0&-1\\0&1&1\\-1&0&0\\\end{vmatrix}=1$

$C_{21}=(-1)^{2+1}\cdot\begin{vmatrix}1&0&0\\1&1&1\\0&0&3\\\end{vmatrix}=-3\\\\\\ C_{22}=(-1)^{2+2}\cdot\begin{vmatrix}2&0&0\\0&1&1\\-1&0&3\\\end{vmatrix}=6\\\\\\ C_{23}=(-1)^{2+3}\cdot\begin{vmatrix}2&1&0\\0&1&1\\-1&0&3\\\end{vmatrix}=-5\\\\\\\ C_{24}=(-1)^{2+4}\cdot\begin{vmatrix}2&1&0\\0&1&1\\-1&0&0\\\end{vmatrix}=-1$

$C_{31}=(-1)^{3+1}\cdot\begin{vmatrix}1&0&0\\0&-1&1\\0&0&3\\\end{vmatrix}=-3\\\\\\ C_{32}=(-1)^{3+2}\cdot\begin{vmatrix}2&0&0\\1&-1&1\\-1&0&3\\\end{vmatrix}=6\\\\\\ C_{33}=(-1)^{3+3}\cdot\begin{vmatrix}2&1&0\\1&0&1\\-1&0&3\\\end{vmatrix}=-4\\\\\\\ C_{34}=(-1)^{3+4}\cdot\begin{vmatrix}2&1&0\\1&0&-1\\-1&0&0\\\end{vmatrix}=-1$

$C_{41}=(-1)^{4+1}\cdot\begin{vmatrix}1&0&0\\0&-1&1\\1&1&1\\\end{vmatrix}=2\\\\\\ C_{42}=(-1)^{4+2}\cdot\begin{vmatrix}2&0&0\\1&-1&1\\0&1&1\\\end{vmatrix}=-4\\\\\\ C_{43}=(-1)^{4+3}\cdot\begin{vmatrix}2&1&0\\1&0&1\\0&1&1\\\end{vmatrix}=3\\\\\\\ C_{44}=(-1)^{4+4}\cdot\begin{vmatrix}2&1&0\\1&0&-1\\0&1&1\\\end{vmatrix}=1$

Substituindo estes cofatores na matriz adjunta, teremos:

$\bold{adj}~E=\begin{bmatrix}3&-3&-3&2\\-5&6&6&-4\\4&-5&-4&3\\1&-1&-1&1\\\end{bmatrix}$

Finalmente, substituímos a matriz na fórmula:

$E^{-1}=\dfrac{1}{1}\cdot\begin{bmatrix}3&-3&-3&2\\-5&6&6&-4\\4&-5&-4&3\\1&-1&-1&1\\\end{bmatrix}\\\\\\ E^{-1} =\begin{bmatrix}3&-3&-3&2\\-5&6&6&-4\\4&-5&-4&3\\1&-1&-1&1\\\end{bmatrix}$

Esta é a matriz inversa que buscávamos.