Question

Utilizando as propriedades dos limites, mostre que:

Answer 1

Oie, Td Bom?!

■ Resposta: $lim_{x⟶0}( \frac{ \sqrt{x + 1} - 1 }{x} ) = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x⟶0}( \frac{ \sqrt{x + 1} - 1 }{x} )$

• Avalie os limites do numerador e denominador separadamente.

I. Numerador:

$lim_{x⟶0}( \sqrt{x + 1} - 1) = 0$

II. Denominador:

$lim_{x⟶0}(x) = 0$

• Dado que a expressão $\frac{0}{0}$ é indeterminada, tente transformar a expressão.

$= lim_{x⟶0}( \frac{ \sqrt{x + 1} - 1 }{x} )$

➭Use a regra L'Hopital:

$lim_{x⟶c}( \frac{f(x)}{g(x)} ) = lim_{x⟶c}( \frac{f'(x)}{g'(x)} )$

$= lim_{x⟶0}( \frac{ \frac{d}{dx}( \sqrt{x + 1} - 1) }{ \frac{d}{dx}(x) } )$

• Iremos agora calcular as derivadas do numerador e denominador.

I. Numerador:

➭Use a Regra da Derivação:

$\frac{d}{dx} (f + g) = \frac{d}{dx} (f) + \frac{d}{dx} (g)$

Para assim, calcular a derivada do numerador.

$= \frac{d}{dx} ( \sqrt{x + 1} - 1)$

$= \frac{d}{dx} ( \sqrt{x + 1} ) - \frac{d}{dx} (1)$

$= \frac{1}{2 \sqrt{x + 1} } - 0$

$= \frac{1}{2 \sqrt{x + 1} }$

II. Denominador:

• A derivada de uma variável elevada a 1 é igual a 1.

$= \frac{d}{dx} (x)$

$= 1$

• Continuando:

$= lim_{x⟶0}( \frac{ \frac{1}{ 2\sqrt{x + 1} } }{1} )$

$= lim_{x⟶0}( \frac{1}{2 \sqrt{x + 1} } )$

➭Vamos agora calcular o limite, usando:

$lim_{x⟶c}( \frac{f(x)}{g(x)} ) = \frac{ lim_{x⟶c}(f(x)) }{ lim_{x⟶c}(g(x)) }$

Assim, reescreva a expressão.

$= \frac{ lim_{x⟶0}(1) }{ lim_{x⟶0}(2 \sqrt{x + 1} ) }$

• O limite de uma constante é igual à constante (falamos do numerador).

$= \frac{ 1 }{ lim_{x⟶0}(2 \sqrt{x + 1} ) }$

$= \frac{1}{2 \: . \: lim_{x⟶0}( \sqrt{x + 1} ) }$

$= \frac{1}{2 \sqrt{ lim_{x⟶0}(x + 1) } }$

$= \frac{1}{2 \sqrt{ lim_{x⟶0}(x) + lim_{x⟶0}(1) } }$

• Avalie o limite por substituir o valor $x = 0$ na expressão.

• O limite de uma constante é igual à constante.

$= \frac{1}{2 \sqrt{0 + 1} }$

$= \frac{1}{2 \sqrt{1} }$

$= \frac{1}{2 \: . \: 1}$

$= \frac{1}{2}$

Att. Makaveli1996