Question

Considere as funções f(x)=2x+3 g(x)= ax+b. Determine uma relação entre a e b de modo que fog=gof

Answer 1

$f(x)=2x+3,\,\,\,g(x)=ax+b.$


Sendo assim, temos que

$\bullet\;\;f(g(x))=2\,g(x)+3\\ \\ f \circ g(x)=2\,(ax+b)+3\\ \\ f \circ g(x)=2ax+2b+3\\ \\ f \circ g(x)=(2a)x+(2b+3)\;\;\;\;\;(i)\\ \\ \\ \bullet\;\;g(f(x))=a\,f(x)+b\\ \\ g \circ f(x)=a\,(2x+3)+b\\ \\ g \circ f(x)=2ax+3a+b\\ \\ g \circ f(x)=(2a)x+(3a+b)\;\;\;\;\;(ii)$


Igualando $(i)$ e $(ii),$ temos

$f \circ g(x)=g \circ f(x)\\ \\ (2a)x+(2b+3)=(2a)x+(3a+b)\\ \\ (2a)x-(2a)x+(2b+3)-(3a+b)=0\\ \\ 2b+3-3a-b=0\\ \\ -3a+b=-3\\ \\ 3a=b+3\\ \\ a=\dfrac{b+3}{3}$