Question

ponto de inflexão da função: f(x)= x⁵-10x⁴+2x+11? ​

Answer 1

Temos a seguinte função:

$\sf f(x) = x {}^{5} - 10x {}^{4} + 2x + 11$

Para encontrar o ponto de inflexão devemos usar a derivada segunda, ou seja, devemos derivar a função duas vezes.

• Primeira derivada:

$\sf \frac{d}{dx} f(x) = 5x {}^{4} - 40x {}^{3} + 2$

• Segunda derivada:

$\sf \frac{d {}^{2} }{dx {}^{2} } f(x) = 20x {}^{3} - 120x {}^{2}$

O ponto de inflexão está diretamente ligado com a concavidade da parábola, então devemos analisar quando a mesma é maior ou menor que "0", antes disso vamos fazer uma pequena simplificação na expressão:

$\sf \frac{d {}^{2} }{dx {}^{2} } f(x) = 20.(x {}^{3} - 6x {}^{2} ) \\ \\ \sf \frac{d {}^{2} }{dx {}^{2} } f(x) = 20x {}^{2} .(x - 6)$

Colocando essa expressão como maior e menor que "0", teremos:

$\sf 20x {}^{2} .(x - 6) > 0 \: \: e \: \: 20x {}^{2} .(x - 6) < 0$

Observe que a o termo que está ao quadrado sempre será positivo, já que o expoente é par, então devemos analisar apenas o parêntese:

$\sf x - 6 > 0 \: \: \: e \: \: \:x - 6 < 0 \\ \sf x > 6 \: \: \: e \: \: \: x < 6$

Já que quando a função tem valores maiores que "6" o resultado é positivo e quando tem valores menores que "6" o resultado é negativo, podemos então dizer que esse é o ponto de inflexão, pois quando f"(x) > 0 → Concavidade para cima e quando f"(x) < 0 → Concavidade para baixo.

• Resposta: ponto de inflexão = 6

Espero ter ajudado