Question

Resolva as equações:​

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

d)

=> Condiçãode existência

Os logaritmandos devem ser maiores que zero

• $\sf 1-x > 0$

$\sf -x > -1~~~~~\cdot(-1)$

$\sf x < 1$

• $\sf 2-x > 0$

$\sf -x > -2~~~~~\cdot(-1)$

$\sf x < 2$

A condição de existência é $\sf x < 1$

Lembre-se que:

$\sf log_{b}~a-log_{b}~c=log_{b}~\Big(\dfrac{a}{c}\Big)$

Assim:

$\sf log_{\frac{1}{2}}~(1-x)-log_{\frac{1}{2}}~(2-x)=3$

$\sf log_{\frac{1}{2}}~\Big(\dfrac{1-x}{2-x}\Big)=3$

$\sf \dfrac{1-x}{2-x}=\Big(\dfrac{1}{2}\Big)^3$

$\sf \dfrac{1-x}{2-x}=\dfrac{1}{8}$

$\sf 1\cdot(2-x)=8\cdot(1-x)$

$\sf 2-x=8-8x$

$\sf -x+8x=8-2$

$\sf 7x=6$

$\sf \red{x=\dfrac{6}{7}}$

e)

=> Condição de existência

Os radicando devem ser maiores ou iguais a zero

• $\sf x+1 \ge 0$

$\sf x \ge -1$

• $\sf x+2 \ge 0$

$\sf x \ge -2$

A condição de existência é $\sf x \ge -1$

Lembre-se que:

• $\sf log_{b}~a+log_{b}~c=log_{b}~(a\cdot c)$

• $\sf 1=log_{a}~a$

Assim:

$\sf log_{2}~\sqrt{x+1}+log_{2}~\sqrt{x+2}=1+log_{2}~\sqrt{33}$

$\sf log_{2}~(\sqrt{x+1})\cdot(\sqrt{x+2})=log_{2}~2+log_{2}~\sqrt{33}$

$\sf log_{2}~\sqrt{(x+1)\cdot(x+2)}=log_{2}~2\sqrt{33}$

Igualando os logaritmandos:

$\sf \sqrt{(x+1)\cdot(x+2)}=2\sqrt{33}$

Elevando os dois lados ao quadrado:

$\sf (\sqrt{(x+1)\cdot(x+2)})^2=(2\sqrt{33})^2$

$\sf (x+1)\cdot(x+2)=4\cdot33$

$\sf x^2+2x+x+2=132$

$\sf x^2+3x+2=132$

$\sf x^2+3x+2-130$

$\sf x^2+3x-130=0$

$\sf \Delta=3^2-4\cdot1\cdot(-130)$

$\sf \Delta=9+520$

$\sf \Delta=529$

$\sf x=\dfrac{-3\pm\sqrt{529}}{2\cdot1}=\dfrac{-3\pm23}{2}$

$\sf x'=\dfrac{-3+23}{2}~\Rightarrow~x'=\dfrac{20}{2}~\Rightarrow~\red{x'=10}$

$\sf x"=\dfrac{-3-23}{2}~\Rightarrow~x"=\dfrac{-26}{2}~\Rightarrow~\red{x"=-13}$ (não serve, pois não satisfaz a condição de existência)

Logo, x = 10

Answer 2

• Utilize as propriedades logarítmicas.

d)

log1/2 (1 - x) - log1/2 (2 - x) = 3

log1/2 [(1 - x)/(2 - x)] = 3

(1 - x)/(2 - x) = (1/2)^3

(1 - x)/(2 - x) = 1/8

8(1 - x) = 2 - x

8 - 8x = 2 - x

8x - x = 8 - 2

7x = 6

x = 6/7

e)

log2 √(x + 1) + log2 √(x + 2) = 1 + log2 √33

log2 √[(x + 1)(x + 2)] = log2 2 + log2 √33

log2 √[(x + 1)(x + 2)] = log2 (2√33)

√[(x + 1)(x + 2)] = 2√33

(x + 1)(x + 2) = 4 . 33

x² + 2x + x + 2 = 132

x² + 3x + 9/4 = 132 - 2 + 9/4

(x + 3/2)² = 529/4

(x + 3/2)² = 23²/2²

x + 3/2 = ± 23/2

x = - 3/2 ± 23/2

x1 = - 3/2 + 23/2

x1 = 20/2

x1 = 10

x2 = - 3/2 - 23/2

x2 = - 26/2

x2 = - 13, mas x não pode ser negativo, então - 13 não é uma possibilidade.

Resposta:

d) x = 6/7

e) x = 10