Question

Integral dx/x^2 -a^2 demostre que é igual 1/2a ln(x-a)/(x+a)

Answer 1

$\int{\dfrac{dx}{x^{2}-a^{2}}}$


Decompondo o integrando em frações parciais:

$\dfrac{1}{x^{2}-a^{2}}\\ \\ \\ =\dfrac{1}{(x-a)\,(x+a)}=\dfrac{C_{1}}{x-a}+\dfrac{C_{2}}{x+a}$


Multiplicando os dois lados por $(x-a)\,(x+a),$ temos

$1=(x-a)\,(x+a)\left[\dfrac{C_{1}}{x-a}+\dfrac{C_{2}}{x+a} \right ]\\ \\ \\ 1=C_{1}\,(x+a)+C_{2}\,(x-a)\;\;\;\;\;(i)$


Fazendo $x=a$ na igualdade $(i),$ temos

$1=C_{1}\,(a+a)+C_{2}\,(a-a)\\ \\ 1=C_{1}\cdot (2a)+C_{2}\cdot 0\\ \\ C_{1}=\dfrac{1}{2a}$


Fazendo $x=-a$ na igualdade $(i),$ temos

$1=C_{1}\,(-a+a)+C_{2}\,(-a-a)\\ \\ 1=C_{1}\cdot 0+C_{2}\cdot(-2a)\\ \\ C_{2}=-\dfrac{1}{2a}$


Substituindo de volta os valores das constantes, temos

$\dfrac{1}{x^{2}-a^{2}}=\dfrac{(\frac{1}{2a})}{x-a}+\dfrac{(-\frac{1}{2a})}{x+a}\\ \\ \\ \dfrac{1}{x^{2}-a^{2}}=\dfrac{1}{2a}\cdot \left(\dfrac{1}{x-a}-\dfrac{1}{x+a} \right )$


Integrando os dois lados da igualdade acima, temos

$\int{\dfrac{dx}{x^{2}-a^{2}}}\\ \\ \\ =\dfrac{1}{2a}\int{\left(\dfrac{1}{x-a}-\dfrac{1}{x+a} \right )\,dx}\\ \\ \\ =\dfrac{1}{2a}\int{\dfrac{dx}{x-a}}-\dfrac{1}{2a}\int{\dfrac{dx}{x+a} \,dx}\\ \\ \\ =\dfrac{1}{2a}\cdot I_{1}-\dfrac{1}{2a}\cdot I_{2}$

onde

$I_{1}=\int{\dfrac{dx}{x-a}},\;\;\;I_{2}=\int{\dfrac{dx}{x+a}}$


Encontramos $I_{1}$ e $I_{2}$ por substituição:

$u=x-a,\;\;v=x+a\\ \\ du=dx,\;\;dv=dx\\ \\ \\ I_{1}=\int{\dfrac{du}{u}}=\mathrm{\ell n\,}|u|=\mathrm{\ell n\,}|x-a|\\ \\ \\ I_{2}=\int{\dfrac{dv}{v}}=\mathrm{\ell n\,}|v|=\mathrm{\ell n\,}|x+a|$


Voltando à integral original, temos

$\int{\dfrac{dx}{x^{2}-a^{2}}}\\ \\ \\ =\dfrac{1}{2a}\mathrm{\,\ell n\,}|x-a|-\dfrac{1}{2a}\mathrm{\,\ell n\,}|x+a|\\ \\ \\ =\dfrac{1}{2a}\cdot \left(\mathrm{\ell n\,}|x-a|-\mathrm{\ell n\,}|x+a| \right )\\ \\ \\ =\dfrac{1}{2a}\mathrm{\,\ell n\,}\dfrac{|x-a|}{|x+a|}\\ \\ \\ =\dfrac{1}{2a}\mathrm{\,\ell n\,}\left|\dfrac{x-a}{x+a}\right|+C$