Question

inequação, alguem pode me ajudar pf

Answer 1

a) $x^{2}-3x+2>0$

$\bullet\;\;$ Forma 1:

$x^{2}-3x>-2$


Multiplicando os dois lados por $4,$ temos

$4\,(x^{2}-3x)>4\cdot (-2)\\ \\ 4x^{2}-12x>-8$


Somando $9$ aos dois lados da desigualdade para completar o quadrado do lado esquerdo, temos

$4x^{2}-12x+9>-8+9\\ \\ 4x^{2}-12x+9>1\\ \\ (2x-3)^{2}>1$


Tirando a raiz quadrada dos dois lados, o sentido da desigualdade se mantém:

$\sqrt{(2x-3)^{2}}>\sqrt{1}\\ \\ \sqrt{(2x-3)^{2}}>1$


Para qualquer número real $a,$ tem-se que

$\sqrt{a^{2}}=|a|$


Sendo assim, chegamos a

$|2x-3|>1\\ \\ \begin{array}{rcl} 2x-3<-1&\text{ ou }&2x-3>1\\ \\ 2x<-1+3&\text{ ou }&2x>1+3\\ \\ 2x<2&\text{ ou }&2x>4\\ \\ x<\dfrac{2}{2}&\text{ ou }&x>\dfrac{4}{2}\\ \\ x<1&\text{ ou }&x>2 \end{array}$


A solução da inequação é

$S=\left\{x \in \mathbb{R}\left|\,x<1\;\text{ ou }\;x>2\right. \right \}$

ou usando a notação de intervalos,

$S=(-\infty;\,1)\cup(2;\,+\infty)$


$\bullet\;\;$ Forma 2:

Encontrando as raízes da expressão do lado esquerdo:

$x^{2}-3x+2=0\;\;\Rightarrow\;\;a=1,\;b=-3,\;c=2\\ \\ \\ \Delta=b^{2}-4ac\\ \\ \Delta=(-3)^{2}-4\cdot 1\cdot 2\\ \\ \Delta=9-8\\ \\ \Delta=1\\ \\ \begin{array}{rcl} x_{1}=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}&\text{ e }&x_{2}=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\\ \\ x_{1}=\dfrac{-(-3)-\sqrt{1}}{2\cdot 1}&\text{ e }&x_{2}=\dfrac{-(-3)+\sqrt{1}}{2\cdot 1}\\ \\ x_{1}=\dfrac{3-1}{2}&\text{ e }&x_{2}=\dfrac{3+1}{2}\\ \\ x_{1}=\dfrac{2}{2}&\text{ e }&x_{2}=\dfrac{4}{2}\\ \\ x_{1}=1&\text{ e }&x_{2}=2 \end{array}$


A solução neste caso é

$x<x_{1}\;\;\text{ ou }\;\;x>x_{2}\\ \\ \;\;\Rightarrow\;\;x<1\;\;\text{ ou }\;\;x>2$


b) $-x^{2}+1 \leq 0$

$x^{2} \geq 1\\ \\ \sqrt{x^{2}} \geq \sqrt{1}\\ \\ |x| \geq 1\\ \\ x\leq -1\;\;\text{ ou }\;\;x\geq 1$


O conjunto solução é

$S=\left\{x \in \mathbb{R}\left|\,x\leq -1\;\text{ ou }\;x\geq 1\right. \right \}$


ou usando a notação de intervalos

$S=(-\infty;\,-1]\cup[1;\,+\infty)$


c) $x^{2}-10x+25\geq 0$

O lado esquerdo já é um quadrado perfeito. Sendo assim, temos

$(x-5)^{2}\geq 0$


Vamos analisar a última desigualdade acima. O lado esquerdo é o quadrado de um número real. Sabemos que, independente do valor que $x$ possa assumir, o quadrado de um número real nunca será negativo. Logo, a sentença acima é verdadeira para todo valor real de $x.$

O conjunto solução é

$S=\mathbb{R}$


d) $x^{2}-10x+25<0$

Novamente, o lado esquerdo já é um quadrado perfeito. Então, chegamos a

$(x-5)^{2}<0$


Analisando a última desigualdade acima, verifica-se que não existe valor real de $x$ que a torne verdadeira, pois o quadrado de um número real nunca dá resultado negativo.

Sendo assim, não há solução real. O conjunto solução é vazio:

$S=\varnothing$