Question

Calcule as derivadas de ƒ (x) e simplifique o resultado, se possível:
y=2-3 / x+5

Answer 1

Olá, bom dia.

Devemos calcular a derivada da seguinte função racional:

$y=\dfrac{2x-3}{x+5}$

Para isso, utilizaremos a regra do quociente: $\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)'=\dfrac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{(g(x))^2}$, em sendo $f(x)$ e $g(x)$ contínuas e deriváveis.

Aplique a regra do quociente:

$y'=\dfrac{(2x-3)'\cdot (x+5)-(2x-3)\cdot (x+5)'}{(x+5)^2}$

Para calcular as derivadas, lembre-se que:

• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções.
• A derivada do produto entre uma constante e uma função é calculada pela regra do produto: $(a\cdot f(x))'=a\cdot f'(x)$.
• A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.
• A derivada de uma constante é igual a zero.

Aplique a regra da soma

$y'=\dfrac{[(2x)'+(-3)']\cdot (x+5)-(2x-3)\cdot [(x)'+(5)']}{(x+5)^2}$

Aplique a regra do produto

$y'=\dfrac{[2\cdot(x)'+(-3)']\cdot (x+5)-(2x-3)\cdot [(x)'+(5)']}{(x+5)^2}$

Aplique a regra da potência e da constante, sabendo que $x=x^1$.

$y'=\dfrac{[2\cdot1+0]\cdot (x+5)-(2x-3)\cdot [1+0]}{(x+5)^2}$

Multiplique e some os valores dentro dos colchetes

$y'=\dfrac{2\cdot (x+5)-(2x-3)\cdot 1}{(x+5)^2}$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$y'=\dfrac{2x+10-2x+3}{(x+5)^2}$

Some os termos semelhantes e cancele os termos opostos

$y'=\dfrac{13}{(x+5)^2}$

Esta é a derivada desta função.