Question

Sendo 0≤n≤90, o valor de
sen 8∘⋅cos62∘+cos78∘+cos82∘+cos86∘+cos90∘+cos94∘+cos98∘+cos102∘+cos8∘⋅sen 62∘
é igual a sen n∘, em que n é:

Answer 1

Vamos usar as seguintes propriedades :

• $\text{Sen(a+b)} = \text{Sen(a).Cos(b)+Sen(b).Cos(a)}$

• $\text{Cos(180-x)}=-\text{Cos(x)}$

Usando a 1ª propriedade para o termos nos extremos, note que :

$\text{Sen(8).Cos(62)+Cos(8).Sen(62) = Sen(8+62) = \boxed{Sen(70)}}$

Então a igualdade fica assim :

$\text{Sen(n)=Sen(70)+Cos(78)+Cos(82)+Cos(86)+Cos(90)+Cos(94)+Cos(98)+Cos(102)}$

Sabendo que Cos(90) = 0. então sobre só :

$\text{Sen(n)=Sen(70)+Cos(78)+Cos(82)+Cos(86)+Cos(94)+Cos(98)+Cos(102)}$

Usando a 2ª propriedade vamos reescrever os seguinte cossenos assim :

$\text{Cos(78)} = -\ \text{Cos(180-78)} = \boxed{-\text{Cos(102)}}$

$\text{Cos(82)} = -\ \text{Cos(180-82)} = \boxed{-\text{Cos(98)}}$

$\text{Cos(86)} = -\ \text{Cos(180-86)} = \boxed{-\text{Cos(94)}}$

Com isso, temos a soma assim :

$\text{Sen(n)=Sen(70)-Cos(102)+Cos(102)-Cos(98)+Cos(98)-Cos(94)+Cos(94)}$

$\text{Sen(n)=Sen(70)}$

Portanto :

$\huge\boxed{\text n = 70^{\circ}} \checkmark$