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Resposta:
Explicação passo-a-passo:
Identificando e resolvendo equações diferenciais exatas. Nós vamos fazer mais alguns problemas de intervalo de validade aqui também.
O próximo tipo de equações diferenciais de primeira ordem que analisaremos é equações diferenciais exatas. Antes de entrarmos nos detalhes completos por trás da solução de equações diferenciais exatas, provavelmente é melhor trabalhar um exemplo que nos ajude a nos mostrar o que é uma equação diferencial exata. Ele também mostrará alguns detalhes dos bastidores que geralmente não nos incomodamos no processo de solução.
A grande maioria dos exemplos a seguir não serão feitos em nenhum exemplos restantes e o trabalho que incluiremos nos exemplos restantes não será mostrado neste exemplo. O ponto principal por trás desse exemplo é mostrar exatamente o que é uma equação diferencial exata, como usamos esse fato para chegar a uma solução e por que o processo funciona como funciona. A maioria dos detalhes reais da solução serão mostrados em um exemplo posterior.
Exemplo 1 Resolva a seguinte equação diferencial.
Vamos começar supondo que em algum lugar do mundo existe uma função Ψ(x, y) que podemos encontrar. Para este exemplo, a função que precisamos é
Não se preocupe, neste momento, sobre de onde esta função veio e como a encontramos. Encontrar a função, Ψ (x, y), que é necessária para qualquer equação diferencial específica, é onde a grande maioria do trabalho para esses problemas está. Como dito anteriormente, no entanto, o objetivo deste exemplo é mostrar por que o processo de solução funciona em vez de mostrar o processo de solução real. Vamos ver como encontrar essa função no próximo exemplo, então, neste ponto, não se preocupe em como encontrá-la, simplesmente aceite que ela pode ser encontrada e que fizemos isso para essa equação diferencial em particular.
Agora, pegue algumas derivadas parciais da função.
Agora, compare estas derivadas parciais à equação diferencial e você notará que com estas podemos agora escrever a equação diferencial como.
(1)
Agora, lembre-se de seu curso de cálculo multi-variável (provavelmente Cálculo III) que (1) nada mais é do que a seguinte derivada (você precisará da regra de cadeia de múltiplas variáveis para isso …).
Agora, se a derivada comum (não parcial …) de algo é zero, esse algo deve ter sido uma constante a princípio. Em outras palavras, nós temos que ter
Isso, então, é uma solução implícita para nossa equação diferencial! Se tivéssemos uma condição inicial, poderíamos resolver para c. Também poderíamos encontrar uma solução explícita se quiséssemos, mas vamos adiar isso até o próximo exemplo.
Ok, então o que aprendemos do último exemplo? Vamos ver as coisas um pouco mais genericamente. Suponha que tenhamos a seguinte equação diferencial.
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(2)
Note que é importante que seja desta forma! Deve haver um “= 0” de um lado e o sinal que separa os dois termos deve ser um “+”. Agora, se existe uma função em algum lugar no mundo, Ψ (x, y) , de modo que,
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então chamamos a equação diferencial exata . Nestes casos, podemos escrever a equação diferencial como
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(3)
Então, usando a regra da cadeia do Cálculo III, podemos reduzir ainda mais a equação diferencial para a seguinte derivada,
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A solução (implícita) para uma equação diferencial exata é então
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(4)
Bem, é a solução desde que possamos encontrar Ψ (x, y) de qualquer maneira. Portanto, uma vez que tenhamos a função, podemos sempre pular direto para (4) para obter uma solução implícita para nossa equação diferencial.
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Agora, desde que Ψ (x, y) seja contínua e suas derivadas de primeira ordem também sejam contínuas, sabemos que
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No entanto, também temos o seguinte.
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Portanto, se uma equação diferencial é exata e Ψ (x, y) atende a todas as suas condições de continuidade, devemos ter.
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(5)
Da mesma forma, se (5) não é verdade, não há como a equação diferencial ser exata.
Portanto, usaremos (5) como um teste para equações diferenciais exatas. Se (5) for verdade, assumiremos que a equação diferencial é exata e que Ψ (x, y) atende a todas as suas condições de continuidade e prossegue com a descoberta. Observe que, para todos os exemplos aqui, as condições de continuidade serão atendidas e, portanto, isso não será um problema.
Ok, vamos voltar e refazer o primeiro exemplo. Desta vez, vamos usar o exemplo para mostrar como encontrar Ψ (x, y). Também adicionaremos uma condição inicial ao problema.
Exemplo 2 Resolva o seguinte PVI e encontre o intervalo de validade para a solução.
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Solução
Primeiro, identifique M e N e verifique se a equação diferencial é exata