Question

Alguém me ajuda nessa questão de números complexos?

Answer 1

Quando temos uma razão entre números complexos, multiplicamos em cima e embaixo pelo conjugado do denominador.

$\boxed{\boxed{z=a+bi~~\rightarrow~~\overline{z}=a-bi~(conjugado~de~z)}}$
_______________________________

$\dfrac{p_{1}}{p_{2}}=\dfrac{6+8i}{6-2i}$

Primeiramente, vamos simplificar o numerador e o denominador por 2:

$\dfrac{p_{1}}{p_{2}}=\dfrac{2\cdot(3+4i)}{2\cdot(3-i)}\\\\\\\dfrac{p_{1}}{p_{2}}=\dfrac{3+4i}{3-i}$

Agora, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador

$z=3-i~~\rightarrow~~\overline{z}=3+i$

Então:

$\dfrac{p_{1}}{p_{2}}=\dfrac{(3+4i)\cdot(3+i)}{(3-i)\cdot(3+i)}\\\\\\\dfrac{p_{1}}{p_{2}}=\dfrac{9+3i+12i+4i^{2}}{(3+i)(3-i)}$

Como i² = - 1 e (a + b)(a - b) = a² - b²:

$\dfrac{p_{1}}{p_{2}}=\dfrac{9+15i+4(-1)}{3^{2}-i^{2}}\\\\\\\dfrac{p_{1}}{p_{2}}=\dfrac{9+15i-4}{9-(-1)}\\\\\\\dfrac{p_{1}}{p_{2}}=\dfrac{5+15i}{9+1}\\\\\\\dfrac{p_{1}}{p_{2}}=\dfrac{5\cdot(1+3i)}{10}\\\\\\\boxed{\boxed{\dfrac{p_{1}}{p_{2}}=\dfrac{1+3i}{2}}}$