Question

Determine quais são os pontos críticos da função e classifique cada um como máximo relativo, minimo relativo ou ponto de sela.
1. f(x,y)=x²+2y²-xy+14y

Answer 1

Para saber se é máximos ou mínimo, devemos saber que:

$\boxed{D=f_x_x*f_y_y-f(_x_y)^2}$

Vamos encontrar primeiramente os pontos, derivando parcialmente para x e y:

$f(x,y)=x^2+2y^2-xy+14y\\\\ f_x=2x+0-y+0\\\\ \boxed{f_x=2x-y}$

$f_y=0+4y-x+14\\\\ \boxed{f_y=4y-x+14}$

Agora, igualando a 0:

$2x-y=0\\\\ \boxed{y=2x}\\\\ 4y-x+14=0\\\\ 4(2x)-x+14=0\\\\ 8x-x+14=0\\\\ -7x=14\\\\ \boxed{x=-2}\\\\ y=2x\\\\ y=2(-2)\\\\ \boxed{y=-4}$

O ponto (-2,-4) é estacionário...

Param descobrir o que o ponto é fazemos:

$f_x=2x-y\\\\ f_x_x=2-0\\\\ f_x_x=2\\\\ \boxed{f_{(-2,-4)}=2}$

$f_y=4y-x+14\\\\ f_y_y=4-0+0\\\\ \boxed{f_{-2,-4}=4}$

$f_x=2x-y\\\\ f_x_y=0-1\\\\ \boxed{f_{(-2,-4)}=-1}$

Aplicando na fórmula:

$D=f_x_x*f_y_y-(fxy)^2\\\\ D=2*4-(-1)^2\\\\ D=8-1\\\\ \boxed{D=7}$

D>0, então o ponto pode ser máximo ou mínimo local...

Como fxx >0, o ponto (-2,-4) é de mínimo local ou relativo.