Question

Uma bola de basquete é arremessada por um jogador para o alto pecorrendo uma trajetoria descrita por h(x)= -2x²+12x, em q h é altura em metros e x o tempo em segundos. Qual foi a altura maxima atingida por esta bola?

Answer 1

Matemáticamente:

 

$V_{x,y}=(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a})$

 

$V_{x,y}=(-\frac{12}{2\cdot{-2}},-\frac{144}{4\cdot{-2}})$

 

$\boxed{V_{x,y}=(3,18)}$

 

Ou seja, em 3 segundos ele vai alcançar sua altura máxima (18m).

 

Físicamente: 

 

Por comparação, temos:

 

$V_o=12m/s$

 

$a=-4m/s^2$

 

Quando a altura for máxima, sua velocidade será nula:

 

$v=v_o+at$

 

$0=12+-4t$

 

$4t=12$

 

$t=3s$

 

Substituindo na função:

 

$h(3)=-2(3)^2+12(3)$

 

$\boxed{h(3)=18m}$

 

 

Cálculo Superior (Derivadas) :

 

$h(x)=-2x^2+12x$

 

$-4x+12=0$

 

$x=3s$

 

Substituindo na função:

 

$h(3)=-2(3)^2+12(3)$

 

$\boxed{h(3)=18m}$

 

 

Pronto, três maneiras de se resolver ! 

 

Answer 2

A altura máxima dessa bola foi de 18m

Quando a questão fala sobre máximo ou mínimo, estamos nos deparando com o ponto crítico da função, ou seja, se desenhássemos a função no gráfico teríamos os pontos da extremidade da parábola.

Perceba que o enunciado nos deu uma equação do segundo grau, e matematicamente é possível encontrar o valor máximo da equação fazendo a derivada da função.

$h(x)= -2x^2+12x\\\\dh/dx = -2\times2x+12\\\\dh/dx=-4x+12$

Para encontrar o ponto crítico, basta igualar a derivada à zero.

$0=-4x+12\\\\4x=12\\\\x=3 segundos$

Como o ponto crítico da função é x = 3, então ao substituir esse valor na função, vamos obter o valor máximo da altura "h":

$h(3) = -2x^2+12x\\\\h(3) = -2\times3^2+12\times3\\\\h(3)=-2\times9+36\\\\h(3)=-18+36\\\\h(3)=18m$

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