Question

INEQUAÇÃO EXPONENCIAL

AJUDA PF.

Answer 1

Sendo $a$ a base dos exponenciais, onde

$0<a<1\;\;ou\;\;a>1$


e $p$ e $q$ números reais, valem as seguintes sentenças:


$(i)\;\;$ Se $a^{p}<a^{q},$ então $\left\{ \begin{array}{ll} p<q,&\text{ se }a>1\\ p>q,&\text{ se }0<a<1 \end{array} \right.$

$(ii)\;\;$ Se $a^{p}\leq a^{q},$ então $\left\{ \begin{array}{ll} p\leq q,&\text{ se }a>1\\ p\geq q,&\text{ se }0<a<1 \end{array} \right.$

$(iii)\;\;$ Se $a^{p}>a^{q},$ então $\left\{ \begin{array}{ll} p>q,&\text{ se }a>1\\ p<q,&\text{ se }0<a<1 \end{array} \right.$

$(iv)\;\;$ Se $a^{p} \geq a^{q},$ então $\left\{ \begin{array}{ll} p\geq q,&\text{ se }a>1\\ p\leq q,&\text{ se }0<a<1 \end{array} \right.$


Basta reduzir as inequações a uma das formas acima, e verificar qual caso se aplica:

a) $27^{x} \geq 3$

$(3^{3})^{x} \geq 3\\ \\ 3^{3x} \geq 3^{1}\;\;\Rightarrow\;\;(\text{aplica caso }iv\text{, com }a=3\;\Rightarrow\;a>1)\\ \\ \\ 3x \geq 1\\ \\ x \geq \dfrac{1}{3}$


O conjunto solução é

$S=\left\{x \in \mathbb{R}\left|\,x \geq \dfrac{1}{3}\right. \right \}$

ou usando a notação de intervalos, o conjunto solução é

$S=\left[\dfrac{1}{3};\,+\infty \right )$


b) $0,8^{2x-3}<0,8^{5}$

$0,8^{2x-3}<0,8^{5}\;\;\Rightarrow\;\;(\text{aplica caso }i\text{, com }a=0,8\;\Rightarrow\;0<a<1)\\ \\ \\ 2x-3>5\\ \\ 2x>5+3\\ \\ 2x>8\\ \\ x>\dfrac{8}{2}\\ \\ x>4$


O conjunto solução é

$S=\left\{x \in \mathbb{R}\left|\,x > 4\right. \right \}$

ou usando a notação de intervalos

$S=(4;\,+\infty)$


c) $3\cdot 4^{x} \leq -6\cdot 4^{x}$

$3\cdot 4^{x} +6\cdot 4^{x} \leq 0\\ \\ 9\cdot 4^{x} \leq 0$


Dividindo os dois lados por $9,$ que é um número positivo, o sentido da desigualdade se mantém o mesmo. Assim, chegamos a

$4^{x} \leq 0$


Nenhum dos casos dados inicialmente se aplica à desigualdade acima. Mas sabemos que toda exponencial sempre deve dar um resultado positivo. Para qualquer valor real de $x,$ devemos ter

$4^{x}>0$


Portanto, a inequação

$4^{x} \leq 0$

não tem solução real. O conjunto solução é vazio:

$S=\varnothing$


d) $4^{x+3}\cdot 2^{x-3} < 128$

$(2^{2})^{x+3}\cdot 2^{x-3} < 2^{7}\\ \\ 2^{2\,(x+3)}\cdot 2^{x-3} < 2^{7}\\ \\ 2^{2x+6}\cdot 2^{x-3} < 2^{7}\\ \\ 2^{(2x+6)+(x-3)}<2^{7}\\ \\ 2^{3x+3}<2^{7}\;\;\Rightarrow\;\;(\text{aplica caso }i\text{, com }a=2\;\Rightarrow a>1)\\ \\ \\ 3x+3<7\\ \\ 3x<7-3\\ \\ 3x<4\\ \\ x<\dfrac{4}{3}$


O conjunto solução é

$S=\left\{x \in \mathbb{R}\left|\,x < \dfrac{4}{3}\right. \right \}$

ou usando a notação de intervalos

$S=\left(-\infty;\,\dfrac{4}{3} \right )$


e) $25 \geq \dfrac{5}{2}$

$25-\dfrac{5}{2} \geq 0\\ \\ \dfrac{50-5}{2} \geq 0\\ \\ \dfrac{45}{2} \geq 0$

A desigualdade acima é sempre verdadeira, e independe de $x.$ Portanto, a solução é todo o conjunto dos reais:

$S=\mathbb{R}$


f) (Não dá para ler o arquivo)