Question

CÁLCULO 1
Resolva o problema seguinte usando máximos e mínimos.

03) Uma comunidade contratou um engenheiro civil para dimensionar e construir uma caixa d´água, de forma cilíndrica, com tampa de 54 pi metros cúbicos de volume. Quais devem ser as dimensões, (raio e altura) da caixa, para que o gasto de material seja mínimo.

Answer 1

Boa tarde!

Volume da caixa:
x = raio da base
y = altura
$V(x,y)=\pi{x^2}y=54\pi$

Isolando o y:
$\pi{x^2}y=54\pi\\ y=\frac{54}{x^2}$

Área total (área das bases+área lateral)
$A(x,y)=2\pi{x^2}+2\pi{x}y$

Substituindo o valor de y isolado:
$A(x)=2\pi{x^2}+2\pi{x}\frac{54}{x^2}\\ A(x)=2\pi{x^2}+\frac{108\pi}{x}\\ A'(x)=4\pi{x}-\frac{108\pi}{x^2}\\ A'(x)=0\\ 4\pi{x}-\frac{108\pi}{x^2}\\ 4\pi{x}=\frac{108\pi}{x^2}\\ 4\pi{x^3}=108\pi\\ x^3=\frac{108\pi}{4\pi}\\ x^3=27=3^3\\ x=3$

Para saber se é ponto de máximo ou mínimo:
$A''(x)=4\pi+\frac{108\pi}{x^3}\\ A''(3)=4\pi+\frac{108\pi}{3^3}=4\pi+\frac{108\pi}{27}=4\pi+4\pi=8\pi$

Como é um número positivo x é um ponto de MÍNIMO.

Veja que x = 3 e:
$y=\frac{54}{x^2}=\frac{54}{3^2}=\frac{54}{9}=6$

Então, altura = 6
Veja que se raio = 3, Diâmetro da base =6

Então, temos altura igual a 6 e diâmetro da base 6 (valores iguais!!!)
Procure o que é seção meridiana e veja que no caso do volume fixo e área mínima sempre será dada quando o formato da seção meridiana for um quadrado.

Espero ter ajudado!