Question

CÁLCULO 1
Resolva o problema seguinte usando máximos e mínimos.

07) Um químico necessitava de construir um recipiente cilíndrico, aberto em cima, deve ter a capacidade de 375 PI cm cúbicos. O custo do material usado para a base do recipiente é de 15 reais por cm quadrado e o custo do material usado para a parte curva é de 5 reais por cm quadrado. Se não há perda de material, determine as dimensões para que o custo de material seja menor.

Answer 1

Boa tarde!

Agora tem 'pesos' para os diferentes lados :)
Mas o princípio é o mesmo de todos com volumes/áreas máximos ou mínimos.

Volume = $375\pi$
x = raio da base
y = altura
$V(x,y)=\pi{x^2}y$

Isolando y:
$\pi{x^2}y=375\pi\\ y=\frac{375}{x^2}$

Base = $\pi{x^2}$
Área lateral = $2\pi{x}y$
Custo:
$C(x,y)=15\pi{x^2}+5(2\pi{x}y)\\ C(x)=15\pi{x^2}+10\pi{x}\frac{375}{x^2}\\ C(x)=15\pi{x^2}+\frac{3750\pi}{x}\\ C'(x)=30\pi{x}-\frac{3750\pi}{x^2}\\ C'(x)=0\\ 30\pi{x}-\frac{3750\pi}{x^2}\\ 30\pi{x}=\frac{3750\pi}{x^2}\\ 30\pi{x^3}=3750\pi\\ x^3=\frac{3750\pi}{30\pi}\\ x^3=125=5^3\\ x=5$

Para saber se é ponto de máximo ou mínimo, derivada segunda:
$C''(x)=30\pi+\frac{3750\pi}{x^3}\\ C''(5)=30\pi+\frac{3750\pi}{5^3}=30\pi+30\pi=60\pi$

Valor positivo, ponto de mínimo.

Então a altura será:
$y=\frac{375}{5^2}=15$


Raio da base = 5cm
Altura = 15cm

Espero ter ajudado!