Question

9 - Determine o ponto de interseção, caso exista, entre as retas de equações paramétricas: x = 7+3s, y = -4-3s, z = -7-5s e x = -5+6 t, y = 1+t, z = 5-2t​

Answer 1

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https://brainly.com.br/tarefa/36733985

$\tt r:\begin{cases}\sf x=7+3s\\\sf y=-4+3s\\\sf z=-7-5s\end{cases}\\\tt s:\begin{cases}\sf x=-5+6t\\\sf y=1+t\\\sf z=5-2t\end{cases}$

$\sf x=x\implies 7+3s=-5+6t\\\sf 3s-6t=-5-7\\\sf 3s-6t=-12\\\sf y=y\implies -4-3s=1+t\\\sf -3s-t=1-(-4)\\\sf -3s-t=1+4\\\sf -3s-t=5$

$+\underline{\begin{cases}\sf\diagdown\!\!\!\!\!3s-6t=-12\\\sf-\diagdown\!\!\!\!\!3s-t=5\end{cases}}\\\sf-7t=-7\cdot(-1)\\\sf 7t=7\\\sf t=\dfrac{7}{7}\\\sf t=1\\\sf -3s-t=5\\\sf -3s-1=5\\\sf -3s=5+1\\\sf -3s=6\cdot(-1)\\\sf 3s=-6\\\sf s=-\dfrac{6}{3}\\\sf s=-2$

Podemos substituir tanto t na reta s quando quanto a variável s na reta r. Vou optar por usar a equação da reta s.

Como t=1 temos:

$\tt s:\begin{cases}\sf x=-5+6t\\\sf y=1+t\\\sf z=5-2t\end{cases}\\\boxed{ \sf x=-5+6\cdot1=-5+6=1}\\\boxed{\sf y=1+t=1+1=2}\\\boxed{\sf z=5-2t=5-2\cdot1=5-2=3}\\\huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\sf r\cap s=\{1,2,3\}}}}}$

Answer 2

reta m:  x = 7+3s, y = -4-3s, z = -7-5s    ........... s ∈ R

e

reta n :  x = -5+6 t, y = 1+t, z = 5-2t​       ........... t ∈ R

ponto de intersecção

7+3s=-5+6t      (i)

-4-3s = 1+t       (ii)

-7-5s =5-2t  (iii)

(i)+(ii)

3 +0 =-4 +7t     ==>t =  1

Usando (i) ==> 7+3s=-5+6*1  ==>s=-2

verificando em  (iii) ==> -7-5*(-2)=5-2*1  ==> 3 = 3  ..ok !!!

x = 7+3s=7-6=1

y = -4-3s=-4+6=2

z = -7-5s=-7+10=3

Ponto de intersecção (1 ; 2 ; 3 )