Question

4-Marque os valores de x , y , z e w que satisfazem o sistema de equações a seguir:

10 pontos



{ -1 ; 2 , 3 , 1}

{ 1 ; 2 ; 3 ; 1}

{ 1 ; -2 ; -3 ; -1}

{ 2 ; 2 ; -3 ; -1}

​

Answer 1

Temos o seguinte sistema:

$\begin{cases}x + y + z = 4 \\ 2x - z + w = - 4 \\ y - z - w = - 2 \\ x - z + 2w = - 2\end{cases}$

Para resolver vamos usar o método do Escalonamento, só que de uma forma "diferenciada". Primeiro vamos começar dizendo que a linha 4 receberá a linha 4 subtraida da linha 2, então teremos que:

$L_4\leftarrow L_4 - L_2 \\ L_4\leftarrow - x + w = 2$

Substituindo a equação:

$\begin{cases}x + y + z = 4 \\ 2x - z + w = - 4 \\ y - z - w = - 2 \\ - x + w = 2\end{cases}$

Agora digamos que a linha 3 receberá a linha 3 subtraida com a linha 1:

$L_3\leftarrow L_3 - L_1 \\ L_3\leftarrow - x - 2z - w = - 6$

Substituindo a equação:

$\begin{cases}x + y + z = 4 \\ 2x - z + w = - 4 \\ - x - 2z - w = - 6\\ - x + w = 2\end{cases}$

Agora a linha 3 recebe a linha 3 subtraida do dobro da linha 2:

$L_3\leftarrow L_3 - 2L_2 \\ L_3\leftarrow - 5x - 3w = 2$

Substituindo a equação:

$\begin{cases}x + y + z = 4 \\ 2x - z + w = - 4 \\ - 5x - 3w = 2\\ - x + w = 2\end{cases}$

A linha 4 receberá a linha 4 multiplicada por 3 e somada com a linha 3:

$L_4\leftarrow 3.L_4 + L_3 \\ L_4\leftarrow - 8x = 8$

Substituindo a equação:

$\begin{cases}x + y + z = 4 \\ 2x - z + w = - 4 \\ - 5x - 3w = 2\\ -8x = 8\end{cases}$

Note que chegamos em equações mais simples, então agora é só resolver normalmente as equações:

$\begin{cases} - 8x = 8 \\ x = \frac{ - 8}{8} \\ x = - 1 \end{cases} \begin{cases} - 5x - 3w = 2 \\ 5 - 3w = 2 \\ w = 1 \end{cases} \\ \begin{cases}2x - z + w = - 4 \\ - 2 - z + 1 = - 4 \\ z = 3 \end{cases} \begin{cases}x + y + z = 4 \\ - 1 + y + 3 = 4 \\ y = 2 \end{cases}$Portanto a solução é:

$\boxed{ \boxed{ \boxed{ \boxed{ \boxed {\sf S = \left \{ - 1,2,3,1\right \}}}}}}$

Espero ter ajudado