Question

Como resolver a integral?
∫sen(2x) sec(x) dx

Answer 1

Resolver a integral

$\int{\mathrm{sen}(2x)\sec (x)\,dx}$


Utilizando a identidade do seno do arco duplo

$\mathrm{sen}(2x)=2\mathrm{\,sen}(x)\cos (x)$


e a definição de secante

$\sec (x)=\dfrac{1}{\cos x}$


vamos reescrevemos a função integrando:

$\mathrm{sen}(2x)\sec (x)=[2\mathrm{\,sen}(x)\cos (x)]\sec(x)\\ \\ \mathrm{sen}(2x)\sec (x)=2\mathrm{\,sen}(x)\cos (x)\cdot \dfrac{1}{\cos(x)}$


Simplificando o fator comum $\cos (x),$ temos

$\mathrm{sen}(2x)\sec (x)=2\mathrm{\,sen}(x)$


Da última igualdade acima, tiramos que

$\int{\mathrm{sen}(2x)\sec (x)\,dx}=\int{2\mathrm{\,sen}(x)\,dx}\\ \\ \int{\mathrm{sen}(2x)\sec (x)\,dx}=2\int{\mathrm{\,sen}(x)\,dx}\\ \\ \int{\mathrm{sen}(2x)\sec (x)\,dx}=2\cdot \left[-\cos (x) \right ]+C\\ \\ \int{\mathrm{sen}(2x)\sec (x)\,dx}=-2\cos (x)+C$