Question

Determine f’(5) da função:

Answer 1

Temos a seguinte função:

$f(x) = \sqrt[4]{x} + 2x {}^{3}$

Aplicando a derivada na função:

$\frac{df(x)}{dx} = \frac{d}{dx} ( \sqrt[4]{x} + 2x^{3})$

A derivada da soma é a soma das derivadas, então:

$\frac{df(x)}{dx} = \frac{d}{dx} ( \sqrt[4]{x} ) +\frac{d}{dx}2x^{3}$

Transformando o radical em potência:

$\frac{df(x)}{dx} = \frac{d}{dx} ( {x}^{ \frac{1}{4} } ) +\frac{d}{dx}2x^{3}$

Aplicando a regra da potência:

$\frac{df(x)}{dx} = \frac{1}{4} x {}^{ \frac{1}{4} - 1} +3.2x^{3-1}\longrightarrow \frac{df(x)}{dx} = \frac{1}{4} x {}^{ - \frac{3}{4} }+6x^{2}$

Passando esse termo com potência negativa para o denominador através das propriedades:

$\frac{df(x)}{dx} = \frac{1}{4x {}^{ \frac{3}{4} } } +6x^{2} \longrightarrow \boxed{ \boxed{ \boxed{ \boxed{\frac{df(x)}{dx} = \frac{1}{ 4\sqrt[4]{x {}^{3} } } +6x^{2}}}}}$

A questão ainda quer saber qual o valor dessa derivada quando x = 5, então:

$\frac{df(x)}{dx} = \frac{1}{4 \sqrt[4]{5 {}^{2} .5} } +6.5^{2} \longrightarrow \boxed{ \boxed{ \boxed{ \boxed{\frac{df(x)}{dx} = \frac{1}{20 \sqrt[4]{5} } + 150}}}}$

Espero ter ajudado

Answer 2

Resposta:

$f(x) = \sqrt[4]{x} + {2x}^{3} \\ \\ f(x) = {x}^{ \frac{1}{4} } + {2x}^{3} \\ \\ f'(x) = \frac{1}{4} \times {x}^{ \frac{1}{4} - 1} + 3×2{x}^{3-1} \\ \\ f'(x)= \frac{1}{4} \times {x}^{ - \frac{3}{4} } + 6{x}^{2}\\ \\ f'(x) = \frac{1}{4 {x}^{ \frac{3}{4} } } + 6{x}^{2}\\ \\ f'(x) = \frac{1}{4 \sqrt[4]{ {x}^{3} } } + 6{x}^{2} \\ \\ f'(5) = \frac{1}{4 \sqrt[4]{ {5}^{3} } } \times \frac{ \sqrt[4]{5} }{ \sqrt[4]{5} } + 6{(5)}^{2}\\ \\ f'(5) = \frac{ \sqrt[4]{5} }{4 \times 5} + 6(25)\\ \\ f'(x) = \dfrac{ \sqrt[4]{5} }{20} + 150 \\ \\ \green{f'(x) = \dfrac{\sqrt[4]{5}+3000}{20}}$

Bons Estudos!