Question

Seja G o sólido no primeiro octante limitado
abaixo pela superfície z = y + x2 e acima pelo
plano z = 4. Qual das alternativas preenchem
corretamente as lacunas com os extremos de in-
tegração que faltam na integral tripla
STAS 6(x, y, z)dA = 1 65
f(x, y, z)dzd.dy
y+z2
Escolha uma:
a.
O
Só Sovy Ste2 f(t, y, z)dzdady
b. So L22 SA f(, y, z)dzdxdy
So So V4-2S+22 f(x,y,z)dzdxdy
12. Su+z? So f(r, y, z)dzdxdy
S* S**, Sostrº f(x, y, z)dzdxdy
C.
O
e.​

Answer 1

Blz.. quer os limites que delimitam a regiao de integração no R3.

Limitado plano z = 4 e pela superfície z = y + x²

Para z, na questao já está explícito. y + x² ≤ z ≤ 4

igualando as equações alii, tem-se:

4 = y + x². Resolvendo para x:

x = √(4 - y). Ou seja, o intervalo para x:

0 ≤ x ≤ √(4 - y)

Para x = 0, tem-se apenas para o eixo y. Logo:

0 = √(4 - y)

y = 4. E o intervalo para y: 0 ≤ y ≤ 4

Então, a região de integração é:

D: {x, y, z ∈ R | y + x² ≤ z ≤ 4, 0 ≤ x ≤ √(4 - y), 0 ≤ y ≤ 4

Outra forma seria assim:

Para z: y + x² ≤ z ≤ 4

Agora, igualando as equacoes:

4 = y + x². Resolvendo para y:

y = 4 - x². Para y, seria assim: 0 ≤ y ≤ 4 - x²

Para y = 0:

0 = 4 - x²

x = ± 2. Mas, para a regiao definida no primeiro octante, tomamos apenas x = 2. A regiao de integracao analoga a regiao acima:

D: {x, y, z ∈ R | y + x² ≤ z ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 4 - x², 0 ≤ x ≤ 2}

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