Question

Considere um polígono quadrilátero, com perímetro medindo 44 cm e todos os ângulos internos medindo 90°. Qual a taxa de variação da área deste quadrilátero em relação ao seu lado

Answer 1

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$\large\green{\boxed{\rm~~~\orange{A'(L)}~\pink{=}~\blue{ 22 - 2 \cdot L }~~~}}$

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$\bf\large\green{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad}}$

$\green{\rm\underline{EXPLICAC_{\!\!\!,}\tilde{A}O\ PASSO{-}A{-}PASSO\ \ \ }}$✍

❄☃ $\sf(\gray{+}~\red{cores}~\blue{com}~\pink{o}~\orange{App}~\green{Brainly})$ ☘☀

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☺lá novamente,  Airton. Vamos nos divertir um pouco misturando as derivadas com geometria plana❗

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☔ Inicialmente  devemos considerar que os únicos dois quadriláteros que possuem seus 4 ângulos internos iguais a 90º são o retângulo e o quadrado e o perímetro de ambos é dado por

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$\large\red{\boxed{\pink{\boxed{\rm\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{ P = 2 \cdot L_1 + 2 \cdot L_2 }&\\&&\\\end{array}}}}}$

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ou seja

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➡ $\sf\large\blue{44 = 2 \cdot L_1 + 2 \cdot L_2}$

➡ $\sf\large\blue{L_1 = \dfrac{44 - 2 \cdot L_2}{2}}$

➡ $\sf\large\blue{L_1 = 22 - L_2}$

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☔ Temos também que a área de ambos (lembrando que o quadrado é um caso particular de retângulo) é dada por

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$\large\red{\boxed{\pink{\boxed{\rm\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{ A_r = L_1 \cdot L_2 }&\\&&\\\end{array}}}}}$

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ou seja, teremos nossa área em função de um dos lados

➡ $\sf\large\blue{ A(L_2) = (22 - L_2) \cdot L_2 }$

➡ $\sf\large\blue{ A(L_2) = 22 \cdot L_2 - L_2^2}$

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☔ Temos que a taxa de variação tanto para L1 como para L2, tomados separadamente, será igual, portanto podemos tomar o lado como um lado geral

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➡ $\sf\large\blue{ A(L) = 22 \cdot L - L^2}$

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☔ Sabemos que a taxa de variação de uma função pode ser encontrada pela derivada desta função. Lembrando que a derivada de uma subtração é igual a subtração das derivadas então teremos

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➡ $\sf\large\blue{ A'(L) = (22 \cdot L)' - (L^2)'}$

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☔ Por fim, pela regra do tombo para derivação temos que

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$\large\red{\boxed{\pink{\boxed{\rm\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{ (a \cdot x^n)' = a \cdot n \cdot x^{n-1} }&\\&&\\\end{array}}}}}$

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portanto

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➡ $\sf\large\blue{ A'(L) = 22 - 2 \cdot L}$

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$\large\green{\boxed{\rm~~~\orange{A'(L)}~\pink{=}~\blue{ 22 - 2 \cdot L }~~~}}$ ✅

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✋ Analisando nosso A(l) percebemos que ela é uma função de segundo grau com um coeficiente a negativo, ou seja, teremos uma parábola de concavidade para baixo e um ponto de máximo. Pela equação do vértice da parábola temos que este ponto máximo estará em (11, 121), ou seja, quando um de seus lados for 11. Se não fosse pela equação do vértice, poderíamos encontrar este ponto de máximo igualando nossa derivada à zero pois isto ocorrerá no alto da parábola, onde encontraremos também um lado igual a 11 e portanto uma área de 121. Quando isto ocorrer teremos que o outro lado também será 11, ou seja, teremos nossa maior área (121 cm²) quando tivermos um quadrado de aresta igual a 11. Podemos observar pela parábola também que A > 0 somente quando 0 < l < 22, como já era de se esperar. ✋

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$\bf\large\red{\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$☁

☕ $\bf\large\blue{Bons\ estudos.}$

($\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios}$) ☄

$\bf\large\red{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad }}\LaTeX$✍

❄☃ $\sf(\gray{+}~\red{cores}~\blue{com}~\pink{o}~\orange{App}~\green{Brainly})$ ☘☀

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$\large\textit{"Absque~sudore~et~labore}$

$\large\textit{nullum~opus~perfectum~est."}$