Question

Questões seguem em anexo.

Answer 1

Imagino que você já seja expert na arte da derivação, então farei a questão 3) sem explicação dos passos.

$03) \\ a) y = \frac{1}{x {}^{3} } \to y' = - \frac{3}{x {}^{4} } \to y'' = \frac{12}{x {}^{5} } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ b) y = \sin x + e {}^{x} \to y' = \cos x + e {}^{x} \to y'' = - \sin x + e {}^{x} \to y''' = - \cos x + e {}^{x} \\ \\ c) \: f(x) = \cos x \to \frac{df}{dx} = - \sin x \to \frac{d {}^{2}f }{dx {}^{2} } = - \cos x \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ d)f(x) = 3e {}^{x} + 2. \cos x \to \frac{df}{dx} = 3e {}^{x} - 2. \sin x \to \frac{d {}^{2}f }{dx {}^{2} } =3e {}^{x} - 2.\cos x \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Agora vamos a questão 4. Temos a seguinte função que expressa o custo C(x):

$C(x) = 5x {}^{2} + 50x + 125$

Eu vou estipular que o sinal que está faltando é positivo. A questão quer saber qual o valor que vai minimizar o custo, para isso vamos usar a ajuda da derivada primeira.

$C'(x) = 10x + 50$

Encontrando os pontos críticos:

$10 x+ 50 = 0 \to 10x = - 50 \to x = - 5$

Agora vamos analisar esse ponto:

$x < - 5 \to positivo \\ x = - 5 \to \: ponto \: critico\\ x > - 5 \to positivo$

Como a função só é positiva, quer dizer então que x = -5 é um mínimo. Esse resultado não bate com nenhuma das respostas pelo simples motivo de que o sinal da função seria (-), então podemos dizer que a resposta é x = 5.

• Resposta x = 5

Espero ter ajudado