Question

Sabendo que a soma de duas raízes da equação polinomial de 3º
grau,
x³ - 4x + d = 0 , é igual a 3, então o valor da constante d é

Answer 1

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas em equações polinomiais.

Dada uma equação polinomial de grau $n$, da forma:

$a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-1}+\cdots+a_0=0$, em que $a_n,~a_{n-1},~a_{n-2},\cdots,~a_0\in\mathbb{R}$.

Sabe-se que:

• Ela apresenta $n$ raízes, podendo ser reais e complexas conjugadas.
• A soma de suas raízes, de acordo com a Relação de Girard, é dada por: $S_1=-\dfrac{a_{n-1}}{a_n}$.

Então, seja a equação polinomial de grau $3$:

$x^3-4x+d=0$

Sabemos que a soma de duas de suas raízes é igual a $3$.

Logo, considerando o que foi dito anteriormente, considere que suas raízes sejam $x_1,~x_2$ e $x_3$.

Observe que um termo foi omitido da equação: seu coeficiente é igual a zero.

Podemos reescrevê-la da seguinte forma:

$x^3+0x^2-4x+d=0$

Utilizando a Relação de Girard, facilmente podemos ver que a soma de suas raízes é dada por:

$S_1=-\dfrac{0}{1}=0$.

Reescrevendo $S_1=x_1+x_2+x_3$ e levando em conta que $x_1+x_2=3$, teremos:

$3+x_3=0$

Subtraia $3$ em ambos os lados da equação

$x_3=-3$

Dessa forma, descobrimos uma de suas raízes.

Substituindo esta raiz na equação, sabemos que seu valor numérico será igual a zero. Logo, teremos:

$(-3)^3-4\cdot(-3)+d=0$

Calcule a potência e multiplique os valores

$-27+12+d=0$

Some os valores

$-15+d=0$

Some $15$ em ambos os lados da equação

$d=15$

Este é o valor da constante $d$ que buscávamos.