Question

log3 (x+2) - log 1/3 (x-6) = log 3 (2x -5)

Answer 1

Inicialmente vamos analisar a existência desses logaritmos.

As bases são todas conhecidas, portanto, ok.

Sabemos que os logaritmandos devem ser positivos, portanto,

x + 2 > 0 ⇒ x > -2

x - 6 > 0 ⇒ x > 6

2x - 5 > 0 ⇒ 2x > 5 ⇒ x > 5/2

Fazendo a intersecção desses três intervalos, obtemos   x > 6  , portanto, ao resolver a equação, só serão aceitos valores maiores que 6.

Vamos mudar a base do 2º logaritmo para base 3, para que todas fiquem iguais e podermos aplicar propriedades.

log3 (x + 2) - log3 (x - 6) / log3 1/3 = log3 (2x - 5)

Calculando log3 1/3 = c ⇒ 3 elevado a c = 1/3 ⇒
3 elevado a c = 3 elevado a -1 ⇒ c = -1

Substituindo na equação, fica:

log3 (x + 2) - log3 (x - 6) / -1 = log3 (2x - 5)

log3 (x + 2) + log3 (x - 6) = log3 (2x - 5)

log3 (x + 2).(x - 6) = log3 (2x - 5) ⇒ (x + 2)(x - 6) = (2x - 5)

x² - 6x + 2x - 12 = 2x - 5 ⇒ x² - 6x + 2x - 12 - 2x + 5 = 0

x² - 6x - 7 = 0

Δ = (-6)² - 4.1.(-7) = 36 + 28 = 64

x = (-(-6) +- √64) / 2.1 = (6 +- 8) / 2

x' = (6 - 8) / 2 = -2/2 = -1  (não serve, pois não é maior que 6)

x" = (6 + 8) / 2 = 14/2 = 7  

Portanto, S = { 7 }