Question

Sabendo que log 2 = 0,301, log 3 = 0,477, log 7 = 0,845, calcule:
a) log 42
b) log 0,6
c) log6^90

Answer 1

No exercício, vamos reescrever os logaritmandos e aplicar propriedades de logaritmos de tal forma que nos possibilite determinar o seu valor.

a)

Fatorando o logaritmando:

$\log42~=~\log\,(2\cdot3\cdot 7)$

Aplicando a propriedade do logaritmo do produto:

$\log42~=~\log2+\log3+\log7$

Substituindo o valor dos logaritmos dados:

$\log42~=~0,301+0,477+0,845\\\\\\\boxed{\log42~=~1,623}$

b)

Deixando o logaritmando na sua forma fracionária:

$\log0,6~=~\log\left(\dfrac{6}{10}\right)$

Aplicando a propriedade do logaritmo do quociente:

$\log0,6~=~\log6-\log10$

Fatorando o logaritmando '6':

$\log0,6~=~\log\,(2\cdot3)-\log10$

Aplicando a propriedade do logaritmo do produto:

$\log0,6~=~\left(\log2+\log3\right)-log10$

Substituindo o valor dos logaritmos dados:

$\log0,6~=~(0,301+0,477)-1\\\\\\\log0,6~=~0,778-1\\\\\\\boxed{\log0,6~=\,-0,222}$

c)

Aplicando a propriedade do logaritmo da potência:

$\log6^{90}~=~90\cdot\log6$

Fatorando o logaritmando:

$\log6^{90}~=~90\cdot\log\,(2\cdot3)$

Aplicando a propriedade do logaritmo do produto:

$\log6^{90}~=~90\cdot\left(\log2+\log3\right)$

Substituindo o valor dos logaritmos dados:

$\log6^{90}~=~90\cdot\left(0,301+0,477\right)\\\\\\\log6^{90}~=~90\cdot\left(0,778\right)\\\\\\\boxed{\log6^{90}~=~70,02}$

*c) Atendendo ao comentário do autor da pergunta dizendo que a letra (c) era, na verdade, o logaritmo de 90 na base 6, segue a resolução.

Aplicando a propriedade da troca de base:

$\log_{\,_6}90~=~\dfrac{\log90}{\log6}$

Reescrevendo os logaritmandos '90' e '6':

$\log_{\,_6}90~=~\dfrac{\log\,(3\cdot3\cdot10)}{\log\,(2\cdot3)}$

Aplicando a propriedade do logaritmo do produto:

$\log_{\,_6}90~=~\dfrac{\log3+\log3+\log10}{\log2+\log3}$

Substituindo o valor dos logaritmos dados:

$\log_{\,_6}90~=~\dfrac{0,477+0,477+1}{0,301+0,477}\\\\\\\log_{\,_6}90~=~\dfrac{1,954}{0,778}\\\\\\\boxed{\log_{\,_6}90~=~\dfrac{977}{389}}~~ou~~\boxed{\log_{\,_6}90~\approx~2,512}\\\\\\\\\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$