Question

Se logy x = 3, quanto vale logy² x3?

Answer 1

Resposta:

$\frac{2}{9}$

Explicação passo-a-passo:

primeiramente vamos relembrar algumas propriedades dos logaritmos que serão úteis para a resolução:

1) Mudança de base:

$log^{a} _{b} =\frac{log^{a} _{c} }{log^{b} _{c} }$

2) Log da potência ( geralmente eu chamo a 1 de peteleco e a 2 de peteleco invertido):

$log^{a^{x} } _{b}= xlog^{a} _{b}$

$log^{a} _{b^{x} }= \frac{1}{x}log^{a} _{b}$

obs: $log^{x}_{x}=1$

Agora vamos manipular um pouco a expressão utilizando as propriedades  do "log da potência", assim chegaremos na igualdade:

$log^{y^{2} } _{x^{3} }= \frac{2}{3}log^{y} _{x}$

agora fica a pergunta: Quanto vale esse $log^{y}_{x}$ ?

Para responder a isso vamos utilizar a propriedade da mudança de base:

.trocando a base por "x" teremos que:

$log^{x} _{y}= \frac{log^{x} _{x} }{log^{y} _{x} }= \frac{1}{log^{y} _{x} }$

como sabemos que:

$log^{x} _{y}=3$

teremos que:

$\frac{1}{log^{y} _{x} }=3$

resolvendo teremos:

$log^{y}_{x}=\frac{1}{3}$

Agora podemos resolver a questão retomando a igualdade:

$log^{y^{2} } _{x^{3} }= \frac{2}{3}log^{y} _{x}$

$log^{y^{2} } _{x^{3} }= \frac{2}{3} x\frac{1}{3}$

logo:

$log^{y^{2} } _{x^{3} }= \frac{2}{9}$