Question

sabendo que B é a matriz inversa de A e de y são número reais . calcule o produto entre x e y​

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre matrizes.

Seja a matriz $A=\begin{bmatrix}2&1\\2&4\\\end{bmatrix}$ e a matriz $B=\begin{bmatrix}x&-\dfrac{1}{6}\\\\-\dfrac{1}{8}&y\\\end{bmatrix}$.

Sabemos que $B=A^{-1}$. Devemos encontrar o produto dos elementos $x$ e $y$.

Primeiro, consideremos que, dado que as matrizes são inversas, o produto:

$A\cdot B=I$, em que $I=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}$ é a matriz identidade.

Então, calculamos o determinante das expressões em ambos os lados da igualdade

$\det(A\cdot B)=\det I$

Aplicando o Teorema de Binet, temos:

$\det A\cdot\det B=\det I$

Para calcularmos o determinante destas matrizes de ordem $2$, lembre-se que o processo consiste em calcular a diferença do produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária.

Assim, teremos:

$(2\cdot4-1\cdot2)\cdot\left(x\cdot y-\left(-\dfrac{1}{6}\right)\cdot\left(-\dfrac{1}{8}\right)\right)=1$

Multiplique e some os valores

$(8-2)\cdot\left(xy-\dfrac{1}{48}\right)=1\\\\\\ 6\cdot\left(xy-\dfrac{1}{48}\right)=1$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação e simplifique a fração

$6xy-\dfrac{1}{8}=1$

Some $\dfrac{1}{8}$ em ambos os lados da equação

$6xy=1+\dfrac{1}{8}\\\\\\ 6xy=\dfrac{9}{8}$

Divida ambos os lados da equação por $6$

$xy=\dfrac{3}{16}$

Este é o valor do produto que buscávamos.