Question

Considere a função f: R → R , dada por f(x)=x³-9x.

A)- Determine as raízes de f.
B)- Determine os intervalos de crescimento e aqueles de decrescimento de f.
C)- Determine os pontos de máximo/mínimo locais de f e os valores de f neste pontos.
D)- Analise a concavidade do gráfico de f.
E)- Esboce o gráfico de f.

Answer 1

a)

As raízes de f são os valores de x que satisfazem f(x) = 0

$f(x)=0\\\\x^{3}-9x=0\\\\x\cdot(x^{2}-9)=0~~\begin{cases}x=0\\x^{2}-9=0~~~\therefore~~~x^{2}=9~~~\therefore~~~x=\pm\sqrt{9}=\pm3\end{cases}$

- 3, 0 e 3 são as raízes de f(x)

b)

A função f é crescente nos intervalos onde f' é positiva
A função f é decrescente nos intervalos onde f' é negativa

Achando a derivada de f:

$f'(x)=\frac{d}{dx}(x^{3})-9\frac{d}{dx}x=3x^{2}-9$

f'(x) é uma função quadrática com raízes distintas, seu gráfico é uma parábola com concavidade voltada para cima (pois a = 3 > 0), portanto f'(x) é negativa entre as raízes, e positiva no resto.

Achando as raízes de f'(x) (pontos críticos de f):

$f'(x)=0\\\\3x^{2}-9=0~~~(\div3)\\\\x^{2}-3=0\\\\x^{2}=3\\\\\boxed{\boxed{x=\pm\sqrt{3}}}$

Então, pelo que vimos, f'(x) < 0 (f é decrescente) se:

$\boxed{\boxed{f'(x)~\textgreater~0~~se~x~\textless-\sqrt{3}~~ou~~x~\textgreater~\sqrt{3}}}\\\\\\\boxed{\boxed{f'(x)~\textless~0~~se~-\sqrt{3}~\textless~x~\textless~\sqrt{3}}}$

c)

Candidatos a pontos de máximo/mínimo: Pontos críticos e extremos do intervalo onde a função está definida

Como a função está definida para todo x real, apenas os pontos críticos serão candidatos a máximo ou mínimo

Há um ponto de mínimo local em x = √3, pois f'(x) < 0 se - √3 < x < √3 e f'(x) > 0 se x > √3

Há um ponto de máximo local em x = - √3, pois f'(x) > 0 se x < - √3 e f'(x) < 0 se - √3 < x < √3

Achando os pontos de mínimo e máximo locais:

$f(\sqrt{3})=(\sqrt{3})^{3}-9\sqrt{3}=(\sqrt{3})^{2}\sqrt{3}-9\sqrt{3}=3\sqrt{3}-9\sqrt{3}=-6\sqrt{3}\\\\f(-\sqrt{3})=(-\sqrt{3})^{3}-9(-\sqrt{3})=-3\sqrt{3}+9\sqrt{3}=6\sqrt{3}\\\\\boxed{\boxed{Ponto~de~m\'inimo:(\sqrt{3},-6\sqrt{3})}}\\\\\\\boxed{\boxed{Ponto~de~m\'aximo:(-\sqrt{3},~6\sqrt{3})}}$

d)

O gráfico de f tem concavidade voltada para cima nos int. onde f'' > 0
O gráfico de f tem concavidade voltada para baixo nos int. onde f'' < 0

Achando a segunda derivada de f:

$f''(x)=\dfrac{d}{dx}f'(x)=\dfrac{d}{dx}(3x^{2}-9)=3\cdot2x^{2-1}+0=6x$

O estudo de sinais dessa função é bem simples

$f''(x)~\textless~0~~ \rightarrow~~6x~\textless~0~~\rightarrow~~\boxed{\boxed{x~\textless~0}}\\\\f''(x)~\textgreater~0~~\rightarrow~~6x~\textgreater~0~~\rightarrow~~\boxed{\boxed{x~\textgreater~0}}$

Ponto de inflexão (mudança de concavidade): Ocorre em x = 0 (raiz de f'')

e)

Além dos dados anteriores, precisamos dos limites no infinito:

$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow\infty}(x^{3}-9x)=\lim\limits_{x\rightarrow\infty}x\cdot(x^{2}-9)=\infty\\\\\\\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}(x^{3}-9x)=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}x\cdot(x^{2}-9)=-\infty$

Fazendo o estudo de sinais de f (não necessário, mas ajuda), chegamos em

$f(x)~\textgreater~0~~se~-3~\textless~x~\textless~0~~ou~~x~\textgreater~3\\\\f(x)~\textless~0~~se~~x~\textless-3~~ou~~0~\textless~x~\textless~3$

Portanto, temos:

f é crescente, negativa e concava para baixo se x < - 3
f é crescente, positiva e concava para baixo se - 3 < x < - √3
f é decrescente, positiva e concava para baixo se - √3 < x < 0
f é decrescente, negativa e concava para cima se 0 < x < √3
f é crescente, negativa e concava para cima se √3 < x < 3
f é crescente, positiva e concava para cima se x > 3

Com isso, podemos montar o gráfico, que está em anexo.