Para cada função quadrática abaixo, é necessário que determine:
- os coeficientes da função;
- se a concavidade é voltada para cima ou se a concavidade é voltada para baixo;
- os zeros da função, se existirem;
- o estudo do sinal da função.
a) f(x) = x² - 2x -3
b) f(x) = -x² + 5x -6
c) f(x) = x² - 6x + 9
D) f(x) = x² - 2x + 6
E) f(x) = - x² - 9
Respostas
Resposta:
a ) f(x) = x² - 2x - 3
Coeficientes a = 1 b = - 2 c = - 3
Zeros { - 1 ; 3 }
Concavidade fica virada para cima. O coeficiente do termo em x² é positivo indica este tipo de concavidade
Estudo do sinal :
Positivo entre ] - ∞ ; -1 [ ∪ ] 3 ; + ∞ [
Negativo entre os zeros ] - 1 ; 3 [
b) = f(x) - x² + 5x - 6
Coeficientes a = - 1 b = 5 c = - 6
Zeros { 2 ; 3 }
Concavidade fica virada para baixo. O coeficiente do termo em x² é negativo, indica este tipo de concavidade
Estudo do sinal :
Positivo entre os zeros ] 2 ; 3 [
Negativo ] - ∞ ; 2 [ ∪ ] 3 ; + ∞ [
c) f(x) = x² - 6x + 9
Coeficientes a = 1 b = - 6 c = 9
Zeros { 3 }
Concavidade fica virada para cima.
Estudo do sinal :
Positivo em R \ { 3 }
d) f(x) = x² - 2x + 6
Coeficientes a = 1 b = - 2 c = 6
Zeros Não tem zeros reais
Concavidade fica virada para cima.
Estudo do sinal : sempre positivo
e) f(x) = - x² - 9
Coeficientes a = - 1 b = 0 c = - 9
Zeros Não tem zeros reais
Concavidade fica virada para baixo.
Estudo do sinal : sempre negativo
( tem em ficheiro anexo o gráfico desta função ; para aceder clicar em "baixar pdf " )
Explicação passo-a-passo:
Pedido:
Para cada função quadrática abaixo, é necessário que determine:
- os coeficientes da função;
- se a concavidade é voltada para cima ou se a concavidade é voltada para baixo;
- os zeros da função, se existirem;
- o estudo do sinal da função.
a) f(x) = x² - 2x -3
b) f(x) = - x² + 5x - 6
c) f(x) = x² - 6x + 9
d) f(x) = x² - 2x + 6
e) f(x) = - x² - 9
Resolução:
a) f(x) = x² - 2x -3
Usar a fórmula de Bhaskara
x = ( - b ±√Δ ) /2a
f(x) = x² - 2x - 3
Coeficientes
a = 1
b= - 2
c = - 3
Zeros
Δ = b² - 4* a * c
Δ = ( - 2 )² - 4* 1 * ( - 3 ) = 4 + 12 = 16
√Δ = √16 = 4
x' = ( - ( - 2 ) + 4 ) / 2*1 = 6 / 2 = 3
x'' = ( - ( - 2 ) - 4 ) / 2*1 = - 2 / 2 = - 1
b) f(x) = - x² + 5x - 6
Usar a fórmula de Bhaskara
x = ( - b ±√Δ ) /2a
f(x) = - x² + 5x - 6
Coeficientes
a = - 1
b = 5
c = - 6
Zeros
Δ = b² - 4* a * c
Δ = 5² - 4* ( - 1 ) * ( - 6 ) = 25 - 24 = 1
√Δ = √1 = 1
x' = ( - 5 + 1 ) / 2*( - 1 ) = - 4 / (- 2) = 2
x'' = ( - 5 - 1 ) / 2*( - 1 ) = - 6 / ( - 2 ) = 3
c) f(x) = x² - 6x + 9
x² - 6x + 9 = 0
Coeficientes:
a = 1
b = - 6
c = 9
Esta função é um produto notável.
Pode der simplificada.
x² - 2*1*3*x + 3² = 0 Quadrado de uma diferença
( x - 3 )² = 0
x - 3 = 0
x = 3 é o único zero
Quando assim é o sinal da função é sempre positivo, excetuando quando
x = 3, que fica com valor 0
d) f(x) = x² - 2x + 6
Coeficientes
a = 1
b = - 2
c = 6
Zeros
Δ = b² - 4* a * c
Δ = ( - 2 )² - 4* 1 * 6 = 4 - 24 = - 20
Quando o binómio discriminante (Δ) é negativo não há soluções reais.
Como o "a" é positivo a função tem concavidade virada para cima e está sempre acima do eixo dos xx, logo é sempre positiva ( sinal +)
Pode verificar isso ao ver o gráfico que vai em anexo.
e) f(x) = - x² - 9
Coeficientes
a = - 1
b = 0
c = - 9
Zeros
Δ = b² - 4 * a * c
Δ = 0² - 4* ( - 1 ) * ( - 9 ) = - 36
Quando o binómio discriminante (Δ) é negativo não há soluções reais.
Como o "a" é negativo a função tem concavidade virada para baixo e está sempre abaixo do eixo dos xx, logo é sempre negativa ( sinal - )
Repare no gráfico em anexo
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Sinais: ( * ) multiplicar ( / ) dividir
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Qualquer dúvida me contacte pelos comentários desta pergunta.
Procuro resolver com detalhe elevado para que quem vai aprender a
resolução a possa compreender otimamente bem.