Question

Cada lado de um quadrado está aumentando a uma taxa de 6 cm/s. A que taxa a área do quadrado está aumentando quando a área do quadrado for 16 cm2

Um tanque cilíndrico com raio 5m está sendo enchido com água a uma taxa de 3 m3/min. Qual rápido a altura está aumentando ?

Answer 1

1) Sendo $\ell$ o lado do quadrado, a área do quadrado, em função de $\ell,$ é dada por

$A(\ell)=\ell^{2}$


Só que a medida do lado, varia com o tempo $t$. O lado é uma função de $t:$

$\ell=\ell(t)$


A questão diz que o lado aumenta ao passar do tempo, a uma taxa constante de $6\text{ cm/s.}$ Então, podemos escrever que

$\dfrac{d\ell}{dt}=6\text{ cm/s}$


Queremos encontrar a taxa de aumento da área. Usando a Regra da Cadeia, podemos escrever que

$\dfrac{dA}{dt}=\dfrac{dA}{d\ell}\cdot \dfrac{d\ell}{dt}\\ \\ \\ \dfrac{dA}{dt}=\dfrac{d}{d\ell}\,(\ell^{2})\cdot \dfrac{d\ell}{dt}\\ \\ \\ \dfrac{dA}{dt}=(2\ell)\cdot 6\\ \\ \\ \dfrac{dA}{dt}=12\ell$


Quando área do quadrado for $16\text{ cm}^{2},$ então o lado do quadrado é

$\ell=\sqrt{16}=4\text{ cm}$


Portanto, a taxa de aumento da área, para $\ell=4\text{ cm,}$ é

$\dfrac{dA}{dt}_{(\ell=4)}=12\cdot 4\\ \\ \\ \dfrac{dA}{dt}_{(\ell=4)}=48\text{ cm}^{2}/\text{s}$


2) O volume $V$ de água presente no tanque cresce com o tempo $t$, a uma taxa constante de $3\text{ m}^{3}/\text{min.}$ Então, podemos escrever que

$\dfrac{dV}{dt}=3\text{ m}^{3}/\text{min}$


As o volume presente no tanque é dado pela área $A$ da base do tanque (que é constante) multiplicado pela altura $h$ do tanque.

Se a medida do raio do tanque é $r=5\text{ m},$ então podemos escrever

$V(h)=A\cdot h\\ \\ V(h)=\pi r^{2}\cdot h\\ \\ V(h)=\pi \cdot (5)^{2}\cdot h\\ \\ V(h)=25\pi h\text{ m}^{3}$


A questão pede a taxa de aumento da altura, em relação ao tempo. Utilizando a Regra da Cadeia, podemos escrever que

$\dfrac{dV}{dt}=\dfrac{dV}{dh}\cdot \dfrac{dh}{dt}\\ \\ \\ 3=\dfrac{d}{dh}\,(25\pi h)\cdot \dfrac{dh}{dt}\\ \\ \\ 3=25\pi\cdot \dfrac{dh}{dt}\\ \\ \\ \dfrac{dh}{dt}=\dfrac{3}{25\pi}\cong 0,038\text{ m/min}$

Answer 2

A área do quadrado está aumentando a uma taxa de 48 cm²/s; A altura está aumentando a uma taxa de 3/25π m/min.

1ª questão

Primeiramente, é importante lembrarmos que a área de um quadrado é igual ao produto de suas dimensões, ou seja:

• A = comprimento x largura.

Como no quadrado o comprimento e a largura são iguais, então:

• A = l², sendo l a medida do lado.

De acordo com o enunciado, temos que calcular a taxa quando a área for igual a 16 cm². Quando a área assume esse valor, a medida do lado do quadrado é igual a:

l² = 16

l = 4 cm.

Além disso, o lado está aumentando a uma taxa de 6 cm/s, ou seja, dl/dt = 6.

Vamos derivar a função A = l²:

dA/dt = 2l.dl/dt

Substituindo o valor de dl/dt e a medida do lado do quadrado obtida:

dA/dt = 2.4.6

dA/dt = 48 cm²/s.

Portanto, a área do quadrado está aumentando a uma taxa de 48 cm²/s.

2ª questão

Primeiramente, é importante lembrarmos da fórmula do volume do cilindro.

O volume de um cilindro é igual ao produto da área da base pela altura, ou seja:

• V = πr².h, sendo r a medida do raio da base e h a altura.

Temos a informação que o raio da base do cilindro mede 5 metros. Então, devemos considerar que r = 5 e o volume do tanque é igual a:

V = π.5².h

V = 25πh.

Derivando a função acima, obtemos:

dV/dt = 25π.dh/dt.

De acordo com o enunciado, o tanque está sendo enchido com água a uma taxa de 3 m³/min. Note que temos volume (m³) por tempo (min). Isso significa que:

3 = 25π.dh/dt

dh/dt = 3/25π.

Portanto, podemos concluir que a altura está aumentando a uma taxa de 3/25π m/min.

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