Question

Resolva o problema de valor inicial onde y(0)= 4
$\frac{dy}{dx} =\frac{x}{\sqrt{x^{2} +1} }$

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades sobre problemas de valor inicial.

Seja o problema de valor inicial:

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$, em que $y(0)=4$.

Devemos encontrar uma função da forma $y=y(x)$ que satisfaça essa condição de contorno.

Multiplicamos ambos os lados da equação pelo diferencial $dx$

$dy=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}\,dx$

Integramos ambos os lados da equação

$\displaystyle{\int dy=\int\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}\,dx$

Lembre-se que:

• A integral indefinida de uma função é calculada de acordo com o Teorema fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int f(x)\,dx=F(x)+C$, em que $F(x)$ é a antiderivada da função e $C$ é uma constante real.
• A integral do produto entre uma constante e uma função é dada por: $\displaystyle{\int a\cdot f(x)\,dx=a\cdot\int f(x)\,dx$.
• A integral de uma potência é calculada pela regra da potência: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,~n\neq-1$.

Aplique a regra da potência na integral à esquerda da equação: lembre-se que $\displaystyle{\int dy=\int 1\,dy=\int y^0\,dy$.

$\displaystyle{y+C_1=\int\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}\,dx$

Agora, faça uma substituição de variáveis: seja $u=x^2+1$. Diferenciamos ambos os lados desta equação para encontrarmos o diferencial $du$.

$(u)'=(x^2+1)'$

Lembre-se que:

• A derivada implícita de uma função $u=u(x)$ é calculada por meio da regra da cadeia.
• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções.
• A derivada de uma potência é dada por: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.
• A derivada de uma constante é igual a zero.

Calcule a derivada implícita e aplique a regra da soma

$\dfrac{du}{dx}=(x^2)'+(1)'$

Aplique a regra da potência e da constante

$\dfrac{du}{dx}=2x$

Multiplique ambos os lados da equação pelo diferencial $dx$

$du=2x\,dx$

Divida ambos os lados da equação por um fator $2$

$\dfrac{du}{2}=x\,dx$

Observe que o termo à direita da equação já está presente na integral. Efetuando a substituição, teremos:

$\displaystyle{y+C_1=\int \dfrac{du}{2\sqrt{u}}$

Aplique a regra da constante e da potência, considerando $\dfrac{1}{\sqrt{u}}=u^{-\frac{1}{2}}$.

$\displaystyle{y+C_1=\dfrac{1}{2}\cdot\int\dfrac{1}{\sqrt{u}}\,du}\\\\\\ y+C_1=\dfrac{1}{2}\cdot \left(\dfrac{u^{-\frac{1}{2}+1}}{-\dfrac{1}{2}+1}+C_2\right)$

Some os valores, calcule a fração e efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$y+C_1=\dfrac{1}{2}\cdot \left(\dfrac{u^{\frac{1}{2}}}{\dfrac{1}{2}}+C_2\right)\\\\\\ y+C_1=\dfrac{1}{2}\cdot (2\sqrt{u}+C_2)\\\\\\ y+C_1=\sqrt{u}+\dfrac{C_2}{2}$

Desfaça a substituição $u=x^2+1$. Subtraia $C_1$ em ambos os lados da equação e considere $\dfrac{C_2}{2}-C_1=C$, uma constante real arbitrária.

$y=\sqrt{x^2+1}+C$

Então, utilize a condição de contorno para calcular o valor da constante e encontrarmos a solução geral do problema.

$4=\sqrt{0^2+1}+C$

Calcule a potência, some os valores e calcule o radical

$4=1+C$

Subtraia $1$ em ambos os lados da equação

$C=3$

Assim, a solução geral deste problema de valor incial é:

$\boxed{\bold{y=\sqrt{x^2+1}+3}}$