Question

"Algumas vezes, lemos que os inventores do cálculo foram Sir Isaac Newton (1642-1727) e Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). Mas sabemos que as ideias básicas por trás da integração foram investigadas há 2.500 anos pelos antigos gregos, tais como Eudóxio e Arquimedes, e que os métodos para encontrar as tangentes foram inventados por Pierre Fermat (1601-1665) e Isaac Barrow (1630-1677), entre outros. Barrow, professor em Cambridge que teve grande influência sobre Newton, foi o primeiro a entender a relação inversa existente entre a derivação e a integração. O que Newton e Leibniz fizeram foi usar essa relação, na forma do Teorema Fundamental do Cálculo, para desenvolver o cálculo em uma disciplina matemática sistemática. É nesse sentido que é atribuída a Newton e a Leibniz a invenção do cálculo."

(Fonte: Stewart, James. Cálculo - Volume 1: Tradução da 8ª edição norte-americana.)

No Teorema Fundamental do Cálculo, utiliza-se o conceito de primitiva de uma função. A família de todas as primitivas é chamada de Integral Indefinida dessa função.

Diante disso, pode-se afirmar que a integral indefinida da função é:
A) f 6.sen(2x)dx = 3.cos(2x)+c
B) f 6.sen(2x)dx = -6.cos(2x)+c
C) f 6.sen(2x)dx = 2.cos(2x)+c
D) f 6.sen(2x)dx = 3.cos(2x)+c
E) f 6.sen(2x)dx = 3.cos(2x)+c

Answer 1

Temos a seguinte integral:

$\int 6 \sin (2x)dx$

Para encontrar o resultado dessa integração, devemos usar o método da substituição, digamos que a função a ser derivada seja 2x, então:

$u = 2x \longrightarrow \frac{du}{dx} = 2\longrightarrow \frac{du}{2} = dx$

Fazendo as devidas substituições:

$\int 6. \sin (u). \frac{du}{2} \longrightarrow \int 3 \sin (u)du$

Agora temos uma integral bem mais simples:

$\int 3. \sin (u)du = 3. \cos(u) + k$

Repondo a expressão que caracteriza "u":

$\boxed{ \boxed{ \boxed{ \boxed{ \boxed{3. \cos (2x) + k}}}}}$

Espero ter ajudado