Question

Obtenha o resto da divisão de:
x^5 + 3x^2 + x + 2 por x^2 - 1

Answer 1

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades da divisão de polinômios.

Devemos obter o resto da divisão de $x^5+3x^2+x+2$ por $x^2-1$.

Utilizaremos o método da chave de Euclides:

$x^5+3x^2+x+2~|\underset{------}{x^2-1}$

Primeiro, multiplicamos o polinômio por um fator que o seu termo dominante seja igual ao termo dominante do dividendo. Subtraímos este resultado do dividendo, de forma que tenhamos:

$x^5+3x^2+x+2~|\underset{------}{x^2-1}\\-x^5+x^3~~~~~~~~~~ ~~x^3\\\\\\\ x^3+3x^2+x+2~|\underset{------}{x^2-1}\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~x^3$

Repita o processo

$x^3+3x^2+x+2~|\underset{------}{x^2-1}\\-x^3+x~~~~~~~~~~~ ~~x^3+x\\\\\\ 3x^2+2x+2~|\underset{------}{x^2-1}\\~~\,~~~~~~~~~~~~~~~~~~x^3+x$

Repita o processo

$3x^2+2x+2~|\underset{------}{x^2-1}\\-3x^2+3~~~\,~~~x^3+x+3\\\\\\ 2x+5~|\underset{------}{x^2-1}\\~~~~~~~~~~\,~~x^3+x+3$

Observe que agora, o polinômio dividendo apresenta um grau menor que o divisor. Logo, não podemos mais realizar a divisão.

Assim, deduz-se que este é o resto da divisão.

$\boxed{\bold{R(x)=2x+5}}$