Question

(Colégio Naval) Sejam a, b e c números reais não nulos tais que 1/(ab) + 1/(ac) + 1/(bc) = p, a/b + b/a + c/a + a/c + b/c + c/b = q e ab + ac + bc = r. O valor de q² + 6q é sempre igual a

A) (p²r² + 9)/4
B) (p²r² - 9p)/12
C) p²r² - 9
D) (p²r² - 10)/4r
E) p²r² - 12p

Answer 1

Dado:

$\large \begin{cases} \sf \dfrac{1}{ab} +\dfrac{1}{ac} +\dfrac{1}{bc} =p \\\\ \sf \dfrac{a}{b} +\dfrac{b}{a} +\dfrac{c}{a} +\dfrac{a}{c} +\dfrac{b}{c} +\dfrac{c}{b}=q \qquad \textcircled {1} \\ \\ \sf ab+ac+bc=r \end{cases}$

• Calcule p × r:

$\large \sf p\cdot r = \left( \dfrac{1}{ab} + \dfrac{1}{ac} + \dfrac{1}{bc}\right) \cdot \left( ab + ac + bc \right)$

$\large \sf p\cdot r = \dfrac{ab}{ab} + \dfrac{ac}{ab} + \dfrac{bc}{ab} + \dfrac{ab}{ac} + \dfrac{ac}{ac} + \dfrac{bc}{ac} + \dfrac{ab}{bc} + \dfrac{ac}{bc} + \dfrac{bc}{bc}$

$\large \sf p\cdot r = 1 + \dfrac{c}{b} + \dfrac{c}{a} + \dfrac{b}{c} + 1 + \dfrac{b}{a} + \dfrac{a}{c} + \dfrac{a}{b} + 1$

$\large \sf p\cdot r = 3 + \dfrac{c}{b} + \dfrac{c}{a} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{b}{a} + \dfrac{a}{c} + \dfrac{a}{b} \qquad \textcircled {2}$

• Substitua ① em ②.

pr = 3 + q

q = pr − 3

q² + 6q = (pr − 3)² + 6(pr − 3)

q² + 6q = p²r² − 6pr +9 + 6pr − 18

q² + 6q = p²r² − 9

Resposta: Alternativa C.

Aprenda mais em:

https://brainly.com.br/tarefa/30566128

Answer 2

Para início de resolução, lembremo-nos que o enunciado nos dá as três seguintes expressões algébricas:

$\begin{array}{l}\bullet\ \,\sf \dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{ac}+\dfrac{1}{bc}=p\\\\\\ \bullet\ \,\sf\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}=q\\\\\\ \bullet\ \,\sf ab+ac+bc=r\end{array}$

, com a, b e c números reais distintos de 0 (zero). Vale ressaltar, ainda, que a condição imposta sobre a, b e c também garante a não nulidade dos produtos dois a dois destes mesmos valores, isto é,

$\begin{cases}\sf a\neq 0\\ \sf b\neq 0\\ \sf c\neq 0\end{cases}\implies\ \ \:\begin{cases}\sf ab\neq 0\\ \sf ac\neq 0\\ \sf bc\neq 0\\ \sf abc\neq 0\end{cases}\implies\quad\begin{cases}\sf \dfrac{ab}{ab}=1\\\\ \sf \dfrac{ac}{ac}=1\\\\ \sf \dfrac{bc}{bc}=1\end{cases}$

Subsequentemente, objetivando encontrar alguma relação interessante entre as expressões p, q e r, vamos agora efetuar a multiplicação de p por r:

$\begin{array}{l}\sf pr=\bigg(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{ac}+\dfrac{1}{bc}\bigg)\!\:\!\:\!\cdot (ab+ac+bc)\\\\\\ \sf pr=\bigg(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{ac}+\dfrac{1}{bc}\bigg)\!\:\!\:\!\cdot ab+\bigg(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{ac}+\dfrac{1}{bc}\bigg)\!\:\!\:\!\cdot ac+\bigg(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{ac}+\dfrac{1}{bc}\bigg)\!\:\:\!\!\cdot bc\\\\\\ \sf pr=\dfrac{ab}{ab}+\dfrac{ab}{ac}+\dfrac{ab}{bc}+\dfrac{ac}{ab}+\dfrac{ac}{ac}+\dfrac{ac}{bc}+\dfrac{bc}{ab}+\dfrac{bc}{ac}+\dfrac{bc}{bc}\qquad(\:\:\!I\:)\end{array}$

Simplificando convenientemente o segundo membro de ( I ), ficamos com

$\begin{array}{l}\sf pr=1+\dfrac{b}{c}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{b}+1+\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{b}{a}+1\\\\\\ \sf pr=1+1+1+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}\\\\\\ \sf pr=3+\underbrace{\sf \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}}_q\\\\ \sf pr=3+q\\\\\\ \sf pr-3=q\qquad(\:II\:)\end{array}$

Uau! Descobrimos que o produto de p por r excede q em 3 (três) unidades, ou seja, pr – 3 = q. Enfim, recorrendo à equação ( II ), temos que q² + 6q é sempre igual a

$\begin{array}{l}\sf q^2+6q=q\:\!(q+6)\\\\ \sf q^2+6q=(pr-3)(pr-3+6)\\\\ \sf q^2+6q=(pr-3)(pr+3)\\\\ \sf q^2+6q=(pr)^2-3^2\\\\ \boxed{\sf q^{\:\!2}+6\:\!q=p^2r^2-9}\end{array}$

Resposta: letra C).

1.ª Obs.: caso tenha problemas na visualização das equações (escritas em LaTeX), experimente visualizar a resposta pelo navegador, acessando o link: https://brainly.com.br/tarefa/36961514.

2.ª Obs.: juro que não copiei a resposta do outro user xD.