Question

O ponto p(m,1,n) pertence à reta que passa por a(3,-1,4) e B(4,3,-1).Determine P.

Determine o ponto da reta r:x-1/2=y+3/-1=z/4
que possui
a)abscissa 5
b)ordenada 2

Determine o angulo entre as retas
a) r: y=-2x +3
z=x-2

r2: y=z+1/-1
x=4
b)r1: x=1 +raiz quadrada de2t
y=t
z=5 -3t
r2: x=3
y=2

Answer 1

1. O ponto $P(m;\,1;\,n)$ pertence à reta que passa pelos pontos $A(3;\,-1;\,4)$ e $B(4;\,3;\,-1).$

O vetor $\overset{\to}{AB}$ é um vetor diretor da reta:

$\overset{\to}{AB}=B-A\\ \\ \overset{\to}{AB}=(4;\,3;\,-1)-(3;\,-1;\,4)\\ \\ \overset{\to}{AB}=(4-3;\,3+1;\,-1-4)\\ \\ \overset{\to}{AB}=(1;\,4;\,-5)$


Dado um ponto da reta, e um vetor diretor, podemos determinar sua equação:

$r:\;(x;\,y;\,z)=A+t\cdot \overset{\to}{AB}\\ \\ r:\;(x;\,y;\,z)=(3;\,-1;\,4)+t\cdot (1;\,4;\,-5)$

(onde $t$ é um parâmetro escalar).


Se o ponto $P(m;\,1;\,n)$ pertence à reta $r,$ então existe um valor de $t,$ tal que

$(m;\,1;\,n)=(3;\,-1;\,4)+t\cdot (1;\,4;\,-5)\\ \\ (m;\,1;\,n)=(3+t;\,-1+4t;\,4-5t)$


Pela coordenada $y$ do ponto, temos que

$1=-1+4t\\ \\ 4t=1+1\\ \\ 4t=2\\ \\ t=\frac{1}{2}$


Substituindo nas equações, temos

$\bullet\;\;m=3+\frac{1}{2}\\ \\ m=\frac{7}{2}\\ \\ \\ \bullet\;\;n=4-5\cdot \frac{1}{2}\\ \\ n=\frac{8-5}{2}\\ \\ n=\frac{3}{2}$


O ponto $P$ é o ponto $(\frac{7}{2};\,1;\,\frac{3}{2}).$

Answer 2

Resposta:P ( 2,1,9)

Explicação passo-a-passo:

Explicação:O ponto P(m, 1,n) pertence a reta que passa por A(3,-1,4) e B (4,-3,-1) , Determine P

Temos o vetor AB = B - A = (4,-3,-1) - (3,-1,4)= (1,-2,-5)

Com o vetor AB escrevemos a reta:  t . AB

Como P pertence a reta entao AP = P - A = ( m -3,1 - (-1), n - 4) = (m - 3, 2, n - 4)

Como AP  é paralelo a AB entao AP = t AB

Entao temos o sistema:m -3 = 1 t1+1 = - 2 tn- 4 = -5 t

Portanto -2 t = 2 entao t = -1m - 3 = 1 (-1)  entao m = 2n - 4 = - 5 (-1) entao n = 9

P ( 2,1,9)