Question

(UFBA) Determine todos os valores de x para os quais $y= \sqrt{x- \frac{2}{x-1} } +log _{2} (-x+3)$ é um numero real.

Answer 1

Vamos lá, vamos resolver por parte:

Primeiramente vamos olhar para a raiz. Para o "x" existir ali dentro temos duas condições: 

$x-1 > 0$

Pois não existe fração com denominador valendo zero. E a outra condição:

$x-\frac{2}{x-1} \geqslant 0$

Pois para uma raiz quadrada existir nos números reais, não pode haver número negativo dentro da raiz.


Quanto ao logaritmo, temos apenas uma condição:

$-x+3 > 0$

Pois não existe logaritmo valendo zero ou número negativo:

Resolvendo cada condição:

$x-1 > 0 \\\\ \boxed{\boxed{x>1}}$


Segunda condição:

$x-\frac{2}{x-1}\geqslant 0 \\\\ MMC = x-1 \\\\ \frac{x(x-1)}{x-1}-\frac{2}{x-1} \geqslant \frac{0}{x-1} \\\\ \frac{x^{2}-x-2}{x-1}\geqslant \frac{0}{x-1} \\\\ x^{2}-x-2 \geqslant 0 \\\\ \Delta = b^{2}-4 \cdot a \cdot c \\\\ \Delta = (-1)-4 \cdot (1) \cdot (-2) \\\\ \Delta = 1+8 \\\\ \Delta = 9$


$x \geqslant \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \\\\ x \geqslant \frac{-(-1) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} \\\\\ x \geqslant \frac{1 \pm 3}{2} \\\\\\ x' \geqslant \frac{1+3}{2} = \frac{4}{2} = \boxed{2} \\\\ x' \geqslant \frac{1-3}{2} = \frac{-2}{2} = \boxed{-1}$


E a terceira condição:

$-x+3 > 0 \\\\ -x>-3 \ \ \times -1 \\\\ \boxed{\boxed{x<3}}$


Portanto, os valores de "x" são:

$x>1 \\\\ x \geqslant 2 \\\\ x \geqslant -1 \\\\ x <3 \\\\\\ \boxed{\boxed{S = x \ \epsilon \ [-1,1[ \ U \ [2,3[}}$