Question

URGENTE

O lucro mensal de uma empresa é dado por L = -x^2 + 30x - 6, onde x é a quantidade mensal vendida. Qual o lucro mensal máximo possível, em reais?

Answer 1

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre funções quadráticas.

Seja o lucro mensal de uma empresa dado por:

$L(x)=-x^2+30x-6$, em que $x$ é a quantidade mensal vendida.

Devemos determinar qual o lucro máximo.

Para isso, lembre-se que o gráfico de uma função quadrática é uma parábola, cujo ponto máximo ou mínimo depende do sinal do coeficiente dominante.

A função quadrática assume a forma $f(x)=ax^2+bx+c$, em que $a\neq0$.

Neste caso, observa-se que o coeficiente é negativo, logo esta função tem ponto máximo, como esperado.

O ponto máximo da função, nesta condição, é calculado pelas fórmulas para calcular as coordenadas do vértice.

As coordenadas $(x_v,~y_v)$ nos diriam, por meio de $x_v$: a quantidade mensal produzida que geraria o lucro máximo e $y_v$ qual foi este lucro.

A fórmula utilizada então será: $y_v=-\dfrac{\Delta}{4a}$, em que $\Delta=b^2-4ac$.

Substituindo os coeficientes $a=-1,~b=30$ e $c=-6$, teremos:

$L_{m\'ax}=-\dfrac{30^2-4\cdot(-1)\cdot(-6)}{4\cdot(-1)}$

Calcule a potência e multiplique os valores

$L_{m\'ax}=-\dfrac{900-24}{-4}$

Some os valores e simplifique a fração

$L_{m\'ax}=219$

Este é o lucro máximo obtido por meio desta função.

Answer 2

Resposta:

L(máximo)=219,00 R$

Explicação passo-a-passo:

Vamos lá! A questão nos deu uma função do segundo grau e pediu o lucro máximo, que corresponde ao ''y'' da função. Nós sabemos que quando o coeficiente do ''x'', isto é, o número que multiplica o ''x'' na equação é um valor negativo a parábola tem o seu vértice voltado para cima e quando o número que multiplica o ''x'' é positivo o vértice é pra baixo.

Mas, o que isso quer dizer? Quer dizer que quando o coeficiente é positivo o MENOR VALOR DE Y está no vértice, e quando o coeficiente é negativo o MAIOR VALOR DE Y está no vértice. Voltando para a questão, ela deu uma função com o valor multiplicativo de ''x'' negativo, e sabemos que o lucro corresponde ao ''y'', ou seja, o MAIOR VALOR DE LUCRO (Y) ESTÁ NO VÉRTICE.

Agora, que sabemos disso fica fácil!! Só precisamos usar a fórmula de Yv(y do vértice) para descobrir o valor de ''y'' no vértice da parábola.

A fórmula é: Yv=-Δ/4a

Lembrando que Δ=b²-4ac

Ou seja, precisamos descobrir o valor de Δ para saber o valor do Yv. Desse modo, o cálculo fica assim:

Δ=30²-4.(-1).(-6)

Δ=900-24---Δ=876

Yv=-Δ/4a

Yv=-876/4.(-1)-----Yv=219

Lembrando que divisão de negativo com negativo dá positivo.

Em suma, Yv=L(máximo)

Yv=219,00, ou seja, o LUCRO MÁXIMO É 219,00 R$.