Question

Dado o limite indeterminado:
$\frac{lim}{x - > 15} \binom{ - x { } ^ {2} + 225}{x - 15}$

Resolva e assinale a alternativa que traz a solução desse limite indeterminado.
A) -30
B 15
C) 20
D) 30
E) 45​

Answer 1

Temos o seguinte limite:

$\lim_{x\to15} \frac{ - x {}^{2} + 225 }{x - 15}$

Primeiro vamos substituir o valor a qual o "x" tende para observar se há ou uma indeterminação.

$\frac{- (15) {}^{2} + 225}{15 - 15} = \frac{ - 225 + 225}{0} = \frac{0}{0}$

De fato, surgiu uma indeterminação do tipo 0/0, então vamos fazer alguma manipulação algébrica e sumir com essa tal Indeterminação. Vamos começar lembrando desse produto notável:

$(x {}^{2} - y{}^{2} ) = (x + y).(x - y)$

Para usar esse produto vamos colocar aquele -1, multiplicando toda a expressão do numerador:

$\frac{ - 1.(x {}^{2} - 225)}{x - 15}$

Não modificamos nada, apenas colocamos o (-1) em evidência. Aplicando o produto notável:

$\frac{ - 1.(x + 15).(x - 15)}{x - 15}$

Temos agora dois elementos iguais, um está no numerador e outro no denominador, então podemos cancelá-los:

$\frac{ - 1.(x + 15). \cancel{(x - 15)}}{ \cancel{x - 15}} = - 1.(x + 15)$

Pronto, certamente sumimos com a indeterminação, então podemos substituir mais uma vez o valor a qual o "x" tende:

$\lim_{x\to15} - 1.(x + 15) \longrightarrow\lim_{x\to15} - 1.(15 + 15) \longrightarrow\lim_{x\to15} - 1.(30) \\ \\ \lim_{x\to15} - 30$

O limite de uma constante é a própria constante, podemos dizer então que:

$\boxed{\lim_{x\to15} \frac{ - x {}^{2} + 225 }{x - 15} = - 30}$

Espero ter ajudado