7)- O polinômio x³ + px + q é divisível por x² + 2x + 5. Os valores p e q são, respectivamente: *
10 pontos
A) 2 e 5
B) 5 e 2
C) 1 e 5
D) 1 e -10
E) 3 e 6
Respostas
Resposta:
D
Explicação passo-a-passo:
Tomemos x³+px+q=f(x) e x²+2x+5=g(x)
Dizer que f(x) é divisível por g(x), é o mesmo que dizer que r(x) (resto) é igual a 0
Logo: r(x)=0
Se é uma divisão podemos reescrever na seguinte forma. Tomando q(x) (quociente da divisão):
q(x)*g(x)+r(x)=f(x) ≫≫ q(x)*(x²+2x+5)+0=x³+px+q
Tomemos q(x) = ax+b:
(ax+b)*(x²+2x+5) = x³+px+q ≫≫
ax³+2ax²+5ax+bx²+2bx+5b = x³+px+q
ax³+(2a+b) x²+(5a+2b)x+5b=x³+px+q
Logo temos que a = 1. Então:
x³+(2+b) x²+(5+2b)x+5b = x³+px+q
Logo como o coeficiente do grau 2 de f(x) é igual a 0 temos:
2+b=0≫≫b=-2
Se b=-2. Então:
x³+x-10=x³+px+q
Então:
p=1 e q=-10
Pela definição de divisão de polinômios, calculamos que, p é igual a 1 e q é igual a-10, alternativa D.
Divisão de polinômios
Dizemos que um polinômio h(x), diferente do polinômio nulo, divide um polinômio s(x), quando existe k(x), tal que, a igualdade s(x) = h(x)*k(x) é verdadeira. Analogamente, dizemos que a divisão de s(x) por h(x) é exata ou que o resto da divisão é igual a zero.
Como a questão proposta afirma que x² + 2x + 5 divide x³ + px + q, temos que, existe k(x) tal que:
x³ + px + q = k(x)*(x² + 2x + 5)
Como o grau do produto de dois polinômios é a soma dos graus, podemos afirmar que, o grau do polinômio k(x) é igual a 1, portanto, k(x) = ax + b. Dessa forma:
(x² + 2x + 5)*(ax + b) = x³ + px + q
Comparando os polinômios dos dois lados da igualdade, podemos escrever:
a = 1
b + 2 = 0
2b + 5 = p
5b = q
b = -2
p = 1
q = -10
Para mais informações sobre polinômios, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/49430304
#SPJ5
