Question

Utilizando o Teorema de Green para calcular a integral de linha ∮(x² − y²)dx + (y + x)dy onde C é dado por x² + y² = 16, temos qual resposta?

Answer 1

Olá, boa noite.

Devemos calcular a seguinte integral de linha utilizando o Teorema de Green:

$\displaystyle{\oint_C(x^2-y^2)\,dx+(y+x)\,dy$, em que o caminho $C$ é a curva $x^2+y^2=16$.

Lembre-se que de acordo com o Teorema de Green, a integral de linha da forma:

$\displaystyle{\oint_CP\,dx+Q\,dy=\displaystyle{\iint\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial x}\,dA$.

Sendo $P=x^2-y^2$ e $Q=y+x$, calculamos as derivadas parciais:

$\dfrac{\partial Q}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}(y+x)=1\\\\\\ \dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}(x^2-y^2)=-2y$

Assim, teremos:

$\displaystyle{\iint1-(-2y)\,dA}\\\\\\ \displaystyle{\iint 1+2y\,dA$

Agora, parametrizamos a curva

$\begin{cases}x=r\cos\theta\\ y=r\sin\theta\\\end{cases}$

Encontramos os limites de integração

$\begin{cases}0\leq r\leq 4\\ 0\leq \theta\leq 2\pi\\\end{cases}$

Calculamos o determinante Jacobiano da transformação:

$J=\begin{vmatrix}\dfrac{\partial x}{\partial r}&\dfrac{\partial x}{\partial \theta}\\\\ \dfrac{\partial y}{\partial r}&\dfrac{\partial y}{\partial \theta}\\\end{vmatrix}\\\\\\J=\begin{vmatrix}\cos\theta&-r\sin\theta\\\sin\theta&r\cos\theta\\\end{vmatrix}\\\\\\ J=\cos\theta\cdot r\cos\theta-(-r\sin\theta)\cdot \sin\theta\\\\\\ J=r\cos^2\theta+r\sin^2\theta\\\\\\ J=r$

Dessa forma, teremos a integral dupla:

$\displaystyle{\int_0^{2\pi}\int_0^4(1+2r\sin\theta)\cdot r\,dr\,d\theta}\\\\\\ \displaystyle{\int_0^{2\pi}\int_0^4r+2r^2\sin\theta\,dr\,d\theta}$

Calculamos a integral mais interna, em respeito à variável $r$

$\displaystyle{\int_0^{2\pi}\dfrac{r^2}{2}+\dfrac{r^3}{3}\cdot\sin\theta~\biggr|_0^4\,d\theta$

Aplique os limites de integração, de acordo com o Teorema fundamental do Cálculo:

$\displaystyle{\int_0^{2\pi}\dfrac{4^2}{2}+\dfrac{4^3}{3}\sin\theta-\left(\dfrac{0^2}{2}+\dfrac{0^3}{3}\cdot\sin\theta\right)\,d\theta}\\\\\\ \displaystyle{\int_0^{2\pi}8+\dfrac{64}{3}\cdot\sin\theta\,d\theta$

Calcule a integral em respeito à variável $\theta$

$8\theta+\dfrac{64}{3}\cdot(-\cos\theta))~\biggr|_0^{2\pi}\\\\\\ 8\theta-\dfrac{64}{3}\cdot\cos\theta~\biggr|_0^{2\pi}$

Aplique os limites de integração

$8\cdot2\pi-\dfrac{64}{3}\cdot\cos(2\pi)-\left(8\cdot0-\dfrac{64}{3}\cdot\cos(0)\right)$

Sabendo que $\cos(2\pi)=\cos(0)=1$, teremos

$16\pi-\dfrac{64}{3}\cdot1-\left(0-\dfrac{64}{3}\cdot1\right)\\\\\\\ 16\pi-\dfrac{64}{3}+\dfrac{64}{3}\\\\\\ 16\pi$

Este é o resultado desta integral de linha.