Question

Expresse dy/dx em termos de x e y, sendo y = f(x) uma função diferenciável dada implicitamente pela equação:
y^3+x^2.y=x+4

Answer 1

Derivando ambos lados da eq em relação à x:

3y^2 dy/dx + 2xy + x^2 dy/dx = 1. Resolvendo para dy/dx

dy/dx (3y^2 + x^2) = 1 - 2xy

dy/dx = (1 - 2xy) / (3y^2 + x^2)

Answer 2

Através da derivada implícita, dy/dx pode ser expresso por dy/dx = (1 - 2xy)/3y².

Derivadas implícitas

A derivada é definida como a taxa de variação de uma função e pode ser calculada através de um limite ou utilizando as regras de derivação.

A equação dada é:

y³ + x²y = x + 4

Precisamos derivar essa equação em relação a x e encontrar dy/dx sabendo que y = f(x). Aplicando a regra da cadeia:

d/dx y³ = 3y²·dy/dx

d/dx x²y = 2xy

d/dx x + 4 = 1

A equação fica:

3y²·dy/dx + 2xy = 1

dy/dx = (1 - 2xy)/3y²

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