Question

Pablo investe uma certa quantia a juros simples durante um mes : uma parte a 2% ao mes, e o restante a 1,5% ao mes, recebendo R$ 82,00 de juros. Se ele
trocasse entre si as quantias aplicadas,receberia R$93,00 de juros.qual foi a quantia aplicada? como calcular com a formula?

Answer 1

Vamos formular da seguinte maneira.

$\bullet\;\;$ O período de investimento para as duas aplicações é o mesmo:

$t=1\text{ m\^{e}s}$


$\bullet\;\;C_{1}$ é a parte da quantia que foi investida a uma taxa de $i_{1}=2\%\text{/m\^{e}s};$

Então, os juros rendidos para esta aplicação foram

$J_{1}=C_{1}\cdot i_{1}\cdot t\\ \\ J_{1}=C_{1}\cdot 0,02\cdot 1\\ \\ J_{1}=0,02\,C_{1}\;\;\;\;\mathbf{(i)}$


$\bullet\;\;C_{2}$ é a parte da quantia que foi investida a uma taxa de $i_{2}=1,5\%\text{/m\^{e}s};$

Então, o juros rendidos para esta aplicação foram

$J_{2}=C_{2}\cdot i_{2}\cdot t\\ \\ J_{2}=C_{2}\cdot 0,015\cdot 1\\ \\ J_{2}=0,015\,C_{2}\;\;\;\;\mathbf{(ii)}$


A soma dos rendimentos das duas aplicações é $\text{R\ \;}82,00:$

$J_{1}+J_{2}=82\\ \\ 0,02\,C_{1}+0,015\,C_{2}=82\;\;\;\;\mathbf{(iii)}$


$\bullet\;\;$ Em um novo cenário de investimento, as quantias aplicadas seriam trocadas entre si. Então, o juro rendido para cada aplicação seria

$J_{1}'=C_{1}\cdot i_{2}\cdot t\\ \\ J_{1}'=C_{1}\cdot 0,015\cdot 1\\ \\ J_{1}'=0,015\,C_{1}\;\;\;\;\mathbf{(iv)}$


$J_{2}'=C_{2}\cdot i_{1}\cdot t\\ \\ J_{2}'=C_{1}\cdot 0,02\cdot 1\\ \\ J_{2}'=0,02\,C_{2}\;\;\;\;\mathbf{(v)}$


e o juro total rendido seria $\text{R\ \;}93,00:$

$J_{1}'+J_{2}'=93\\ \\ 0,015\,C_{1}+0,02\,C_{2}=93\;\;\;\;\mathbf{(vi)}$


Resolvendo o sistema formado pelas equações $\mathbf{(iii)}$ e $\mathbf{(vi)},$ temos

$\left\{ \begin{array}{c} 0,02\,C_{1}+0,015\,C_{2}=82\\ \\ 0,015\,C_{1}+0,02\,C_{2}=93 \end{array} \right.$


Isolando $C_{2}$ na primeira equação e substituindo na segunda,

$0,02\,C_{1}+0,015\,C_{2}=82\\ \\ 0,015\,C_{2}=82-0,02\,C_{1}\\ \\ C_{2}=\dfrac{82-0,02\,C_{1}}{0,015}\\ \\ \\ 0,015\,C_{1}+0,02\cdot\left( \dfrac{82-0,02\,C_{1}}{0,015} \right )=93\\ \\ \\ 0,015\,C_{1}+\dfrac{0,02\cdot (82-0,02\,C_{1})}{0,015}=93$


Multiplicando os dois lados por $0,015,$ temos

$0,015\cdot \left(0,015\,C_{1}+\dfrac{0,02\cdot (82-0,02\,C_{1})}{0,015} \right )=0,015\cdot 93\\ \\ \\ (0,015)^{2}\,C_{1}+0,02\cdot (82-0,02\,C_{1})=0,015\cdot 93\\ \\ (0,015)^{2}\,C_{1}+0,02\cdot 82-(0,02)^{2}\,C_{1}=0,015\cdot 93\\ \\ (0,015)^{2}\,C_{1}-(0,02)^{2}\,C_{1}=0,015\cdot 93-0,02\cdot 82$


Colocando $C_{1}$ em evidência no lado esquerdo, temos

$\left[(0,015)^{2}-(0,02)^{2} \right ]C_{1}=0,015\cdot 93-0,02\cdot 82\\ \\ C_{1}=\dfrac{0,015\cdot 93-0,02\cdot 82}{(0,015)^{2}-(0,02)^{2}}\\ \\ \\ C_{1}=\text{R\ \;}1\,400,00$


Substituindo o valor encontrado acima na equação de $C_{2},$

$C_{2}=\dfrac{82-0,02\,C_{1}}{0,015}\\ \\ \\ C_{2}=\dfrac{82-0,02\cdot 1\,400}{0,015}\\ \\ \\ C_{2}=\text{R\ }\;3\,600,00$


Logo a quantia total aplicada foi

$C=C_{1}+C_{2}\\ \\ C=1\,400+3\,600\\ \\ \boxed{\begin{array}{c}C=\text{R\ \;}5\,000,00 \end{array}}$